Questão 6 - Acerca das seguintes funções polinomiais do 2^{\underline{\mathrm{O}}} grau abaixo, determine a posição da concavidade da parábola, os zeros, vértice, valor máximo ou mínimo.
f(x)=-13 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado nos dá a função polinomial do segundo grau
f(x) = -13x^2 + x
e pede para encontrarmos a concavidade da parábola, as raízes (zeros), o vértice e o valor máximo ou mínimo. Para isso vamos usar:
– sinal do coeficiente quadrático para concavidade;
– fatoração da equação igual a zero para encontrar as raízes;
– fórmulas do vértice x_v = -\tfrac{b}{2a} e y_v = f(x_v);
– tipo de extremum conforme o sinal de a.

Passo 2

O coeficiente quadrático é a = -13. Como a<0, a parábola é côncava para baixo, ou seja, abre para baixo.

Passo 3

Para achar os zeros, resolvemos
-13x^2 + x = 0
Fatorando em x:
x(-13x + 1) = 0
Logo as raízes são
x = 0 \quad\text{e}\quad -13x + 1 = 0 \implies x = \tfrac{1}{13}.

Passo 4

O vértice tem abscissa
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot(-13)} = \frac{1}{26}.
Para encontrar a ordenada, calculamos
y_v = f\Bigl(\tfrac{1}{26}\Bigr) = -13\Bigl(\tfrac{1}{26}\Bigr)^2 + \tfrac{1}{26} = -\frac{13}{676} + \frac{26}{676} = \frac{13}{676} = \frac{1}{52}.

Passo 5

Como a<0, o vértice é um ponto de máximo. Portanto, o valor máximo de f é
f\Bigl(\tfrac{1}{26}\Bigr) = \frac{1}{52}
ocorrendo em x = \tfrac{1}{26}.

Resposta

Concavidade: para baixo.
Zeros: x = 0 e x = \tfrac{1}{13}.
Vértice: \bigl(\tfrac{1}{26},\,\tfrac{1}{52}\bigr).
Extremo: máximo igual a \tfrac{1}{52}.

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