Questão 1: Ache o domínio da função racional, Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar o domínio da função racional $ F(x) = \frac{x{4}-16}{x{4}-3x^{2}-4} $. Depois, a gente precisa fatorar o numerador e o denominador e simplificar a fração. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, encontrar valores que podem causar problemas no denominador e técnicas de fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função racional são todos os valores de $ x $ que não fazem o denominador ser zero, porque não dá pra dividir por zero, né?
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar $ y = x^{2} $, assim a equação fica:
Aí, usamos a fórmula de Bhaskara para achar $ y $.
Calculando o delta ($ \Delta $):
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Lembrando que $ y = x^{2} $, então:
Portanto, os valores que não estão no domínio são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
Denominador:
Já sabemos que
Já sabemos que
Passo 5
Agora, vamos simplificar a função:
Podemos cancelar os fatores comuns $ (x - 2) $ e $ (x + 2) $, desde que $ x \neq 2 $ e $ x \neq -2 $:
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 2 $ e $ x = -2 $. A função simplificada fica: