Questão 1: Ache o domínio da função racional, Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
F(x)=x^4-16x^4-3 x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar o domínio da função racional $ F(x) = \frac{x{4}-16}{x{4}-3x^{2}-4} $. Depois, a gente precisa fatorar o numerador e o denominador e simplificar a fração. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, encontrar valores que podem causar problemas no denominador e técnicas de fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função racional são todos os valores de $ x $ que não fazem o denominador ser zero, porque não dá pra dividir por zero, né?
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
x

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar $ y = x^{2} $, assim a equação fica:
y = x^2
Aí, usamos a fórmula de Bhaskara para achar $ y $.
Calculando o delta ($ \Delta $):
y^2 - 3y - 4 = 0
Então,
y
Isso nos dá duas soluções:
De
Lembrando que $ y = x^{2} $, então:
De
y = 3 pm raiz252 = 3 pm 52 çã
Portanto, os valores que não estão no domínio são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Denominador:
Já sabemos que
x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a função:
F(x) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)
Podemos cancelar os fatores comuns $ (x - 2) $ e $ (x + 2) $, desde que $ x \neq 2 $ e $ x \neq -2 $:
(x - 2)

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 2 $ e $ x = -2 $. A função simplificada fica:
x = 2

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