Questão 1: Ache o domínio da função racional, Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
G(x)=3 x^2+4 x+13 x^4+7 x^3+5 x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função racional $ G(x) = \frac{3x^{2} + 4x + 1}{3x^{4} + 7x^{3} + 5x^{2} + x} $. Funções racionais são quocientes de dois polinômios, então vamos precisar entender onde essa função está definida. Para isso, vamos precisar saber como determinar o domínio de uma função racional, além de saber fatorar polinômios para simplificar a expressão no final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função racional inclui todos os valores de $ x $ para os quais o denominador não é zero, já que não podemos dividir por zero. Então, precisamos resolver a inequação:
x
Vamos fatorar o denominador para encontrar os valores de $ x $ que não podem ser usados.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador $ 3x^{4} + 7x^{3} + 5x^{2} + x $. Primeiro, percebemos que todos os termos têm um $ x $ em comum, então podemos fatorar:
3x^4 + 7x^3 + 5x^2 + x
Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico dentro dos parênteses. Vamos tentar encontrar raízes desse polinômio para facilitar a fatoração.

Passo 4

Para fatorar $ 3x^{3} + 7x^{2} + 5x + 1 $, podemos tentar valores que tornam o polinômio igual a zero. Testando $ x = -1 $:
3x^3 + 7x^2 + 5x + 1
Então, $ x = -1 $ é uma raiz. Podemos então escrever $ (x + 1) $ como um fator e dividir o polinômio por $ (x + 1) $ usando divisão polinomial ou sintética.
Após a divisão, obtemos:
x = -1
Agora, o denominador fatorado fica:
3(-1)^3 + 7(-1)^2 + 5(-1) + 1 = -3 + 7 - 5 + 1 = 0

Passo 5

Agora vamos fatorar o numerador $ 3x^{2} + 4x + 1 $. Procuramos dois números que multiplicados dão $ 3 \times 1 = 3 $ e somados dão $ 4 $. Esses números são 3 e 1. Assim, fatoramos:
3x^2 + 4x + 1
Agora, a função original fica:
3 times 1 = 3

Passo 6

Finalmente, observamos que $ (3x + 1) $ e $ (x + 1) $ aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelá-los, desde que não sejam zero, o que já consideramos no domínio. Então, a função simplificada é:
(3x + 1)

Resposta

O domínio da função $ G(x) $ é todos os reais exceto $ x = 0 $ e $ x = -1/3 $. A função simplificada é:
G(x)

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