Questão 1: Ache o domínio da função racional, Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função racional $ G(x) = \frac{3x^{2} + 4x + 1}{3x^{4} + 7x^{3} + 5x^{2} + x} $. Funções racionais são quocientes de dois polinômios, então vamos precisar entender onde essa função está definida. Para isso, vamos precisar saber como determinar o domínio de uma função racional, além de saber fatorar polinômios para simplificar a expressão no final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função racional inclui todos os valores de $ x $ para os quais o denominador não é zero, já que não podemos dividir por zero. Então, precisamos resolver a inequação:
Vamos fatorar o denominador para encontrar os valores de $ x $ que não podem ser usados.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador $ 3x^{4} + 7x^{3} + 5x^{2} + x $. Primeiro, percebemos que todos os termos têm um $ x $ em comum, então podemos fatorar:
Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico dentro dos parênteses. Vamos tentar encontrar raízes desse polinômio para facilitar a fatoração.
Passo 4
Para fatorar $ 3x^{3} + 7x^{2} + 5x + 1 $, podemos tentar valores que tornam o polinômio igual a zero. Testando $ x = -1 $:
Então, $ x = -1 $ é uma raiz. Podemos então escrever $ (x + 1) $ como um fator e dividir o polinômio por $ (x + 1) $ usando divisão polinomial ou sintética.
Após a divisão, obtemos:
Agora, o denominador fatorado fica:
Passo 5
Agora vamos fatorar o numerador $ 3x^{2} + 4x + 1 $. Procuramos dois números que multiplicados dão $ 3 \times 1 = 3 $ e somados dão $ 4 $. Esses números são 3 e 1. Assim, fatoramos:
Agora, a função original fica:
Passo 6
Finalmente, observamos que $ (3x + 1) $ e $ (x + 1) $ aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelá-los, desde que não sejam zero, o que já consideramos no domínio. Então, a função simplificada é:
Resposta
O domínio da função $ G(x) $ é todos os reais exceto $ x = 0 $ e $ x = -1/3 $. A função simplificada é: