Derivadas.
Resolver os seguintes exercícios:
Calcular y^prime=d yd x das seguintes funções definidas implicitamente.
3 cos ^2(x+y)=2

Passo 1

Então, temos a equação implícita 3 cos^2(x + y) = 2 e precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, y'. Vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando y não está isolada e é definida de forma que depende de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. A equação é:
3 cos^2(x + y) = 2
Derivando ambos os lados:
ddx[3 cos^2(x + y)] = ddx[2]

Passo 3

A derivada de uma constante é zero, então o lado direito da equação se torna:
0
Agora, vamos focar na derivada do lado esquerdo.

Passo 4

Para derivar 3 cos^2(x + y), usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos a função externa u^2 onde u = cos(x + y), e então derivamos em relação a x.
A derivada de 3 u^2 em relação a u é 6u, então aplicando a regra da cadeia:
ddx[3 cos^2(x + y)] = 6 cos(x + y) cdot ddx[cos(x + y)]

Passo 5

Agora, precisamos derivar cos(x + y) em relação a x. Novamente, usamos a regra da cadeia:
ddx[cos(x + y)] = -sin(x + y) cdot ddx(x + y)
Como y é uma função de x, temos:
ddx(x + y) = 1 + y'
Então, substituindo de volta:
ddx[cos(x + y)] = -sin(x + y)(1 + y')

Passo 6

Voltando à derivada original:
6 cos(x + y) cdot [-sin(x + y)(1 + y')] = 0
Simplificando:
-6 cos(x + y) sin(x + y)(1 + y') = 0

Passo 7

Podemos dividir ambos os lados por -6 cos(x + y) sin(x + y) (desde que cos(x + y) sin(x + y) neq 0):
1 + y' = 0

Passo 8

Isolando y':
y' = -1

Resposta

A derivada de y em relação a x é y' = -1.

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