Questão 1: Ache o domínio da função racional. Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
F(x)=x^3-1x^4+x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nessa questão é encontrar o domínio da função racional $ F(x) = \frac{x{3}-1}{x{4}+x^{2}-2} $. Além disso, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Para isso, vamos usar conceitos de polinômios e fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função racional são todos os valores de $ x $ que não fazem o denominador ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:
x

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos substituir $ y = x^{2} $, ficando:
y = x^2
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
y^2 + y - 2 = 0
Então, as soluções são:
y = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Lembrando que $ y = x^{2} $, temos:
y = 1 e y = -2
y = x^2 çã
Portanto, os valores que não estão no domínio são $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
$ x^{3} - 1 $ é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
x^3 - 1
Denominador:
Já sabemos que $ x^{4} + x^{2} - 2 $ fatorou para $ (x^{2} + 2)(x - 1)(x + 1) $.

Passo 5

Agora, substituímos as fatorações na função original:
F(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 + 2)(x - 1)(x + 1)
Podemos cancelar o fator $ (x - 1) $, pois ele aparece no numerador e no denominador:
(x - 1)

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $. A função simplificada é:
x = 1

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