Questão 1: Ache o domínio da função racional. Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nessa questão é encontrar o domínio da função racional $ F(x) = \frac{x{3}-1}{x{4}+x^{2}-2} $. Além disso, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Para isso, vamos usar conceitos de polinômios e fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função racional são todos os valores de $ x $ que não fazem o denominador ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos substituir $ y = x^{2} $, ficando:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Lembrando que $ y = x^{2} $, temos:
Portanto, os valores que não estão no domínio são $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
$ x^{3} - 1 $ é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
Denominador:
Já sabemos que $ x^{4} + x^{2} - 2 $ fatorou para $ (x^{2} + 2)(x - 1)(x + 1) $.
Passo 5
Agora, substituímos as fatorações na função original:
Podemos cancelar o fator $ (x - 1) $, pois ele aparece no numerador e no denominador:
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $. A função simplificada é: