Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
e
Passo 1
O enunciado pede: “Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado”. As informações fornecidas são:
- A função é
. - O ponto é dado por
. - O ponto da curva onde a tangente toca é
(a ordenada ainda precisa ser calculada).
Passo 2
Lembrete e fórmula que vamos usar (explicada): se
é diferenciável em
, a equação da reta tangente à curva
no ponto
é
Explicando cada coisa:
-
é a ordenada (o ) do ponto de tangência. -
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente; é a derivada de em . -
indica que estamos escrevendo a reta no ponto-slope form. Essa fórmula vem da ideia de aproximação linear: a reta tangente é a melhor aproximação linear da função perto de .
Passo 3
Definição da derivada (o que significa
) e como calculamos:
No nosso caso
. Vamos obter uma expressão geral para
usando a identidade de soma de ângulos e limites trigonométricos básicos.
Passo 4
Cálculo da derivada de
(passo a passo):
Usando a identidade
, temos
Separando os termos:
Sabemos dos limites trigonométricos que
Portanto
Conclusão:
.
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
:
pois
.
Passo 6
Calcular a ordenada do ponto de tangência:
Passo 7
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2:
Portanto a reta tangente é
. (Forma alternativa:
.)
Passo 8
Exemplo rápido para fixar (só para treinar): se
e
, então
,
,
e a reta tangente é
. Mesmo raciocínio que usamos aqui.