Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
f(x)=\operatorname{sen} x e x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede: “Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado”. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x.
  • O ponto é dado por x_{0}=0.
  • O ponto da curva onde a tangente toca é \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) (a ordenada ainda precisa ser calculada).

Passo 2

Lembrete e fórmula que vamos usar (explicada): se f é diferenciável em x_{0}, a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto x_{0} é
y=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Explicando cada coisa:
  • f(x_{0}) é a ordenada (o y) do ponto de tangência.
  • f'(x_{0}) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente; é a derivada de f em x_{0}.
  • (x-x_{0}) indica que estamos escrevendo a reta no ponto-slope form. Essa fórmula vem da ideia de aproximação linear: a reta tangente é a melhor aproximação linear da função perto de x_{0}.

Passo 3

Definição da derivada (o que significa f'(x_{0})) e como calculamos:
f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
No nosso caso f(x)=\operatorname{sen} x. Vamos obter uma expressão geral para f'(x) usando a identidade de soma de ângulos e limites trigonométricos básicos.

Passo 4

Cálculo da derivada de \operatorname{sen} x (passo a passo):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen} x}{h}.
Usando a identidade \operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h, temos
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}x(\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen}h}{h}.
Separando os termos:
f'(x)=\operatorname{sen}x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}.
Sabemos dos limites trigonométricos que
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Portanto
f'(x)=\operatorname{sen}x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x.
Conclusão: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x_{0}=0:
f'(0)=\cos 0 = 1,
pois \cos 0=1.

Passo 6

Calcular a ordenada do ponto de tangência:
f(0)=\operatorname{sen}0=0.

Passo 7

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2:
y=f(0)+f'(0)\,(x-0)=0+1\cdot(x-0)=x.
Portanto a reta tangente é y=x. (Forma alternativa: y-0=1\,(x-0).)

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (só para treinar): se g(x)=x^{2} e x_{0}=1, então g'(x)=2x, g'(1)=2, g(1)=1 e a reta tangente é y=1+2(x-1)=2x-1. Mesmo raciocínio que usamos aqui.

Resposta

y=x

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