6^a Questão: Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=1-arcsen(2 x^3)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=1-arcsenl(2x^3r)
e queremos encontrar f'(x). O conteúdo principal é derivação de função inversa (no caso arcsen) combinada com regra da cadeia.

Passo 2

Recordando a derivada da função arcsen(u) em relação a u:
ddu,arcsen(u) =1raiz1-u^2

Passo 3

Identificamos a função interna da composição como
u(x)=2x^3
Aplicando a derivada de u(x), obtemos
u'(x)=ddxl(2x^3r)=6x^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em
f(x)=1-arcsenl(u(x)r)
Como a derivada de 1 é zero, temos
f'(x) =0 ;-;u'(x)raiz1-[u(x)]^2 =,-6x^2raiz1-l(2x^3r)^2 =,-6x^2raiz1-4x^6

Resposta

f'(x)=-6x^2raiz1-4x^6

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