Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
2 x y y{\prime}+x=y{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
2x ydydx+x=y^2
Não é imediatamente exata, mas podemos tentar achar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, temos
(x - y^2),dx + 2xy,dy = 0,
onde M(x,y)=x-y^2 e N(x,y)=2xy.

Passo 3

Verificamos exatidão:
partial Mpartial y = -2y, partial Npartial x=2y
Como não são iguais, a equação não é exata. Calculamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN = -2y-2y2xy=-2x,
que depende apenas de x, logo existe um fator integrante mu(x)=e^integral(-2/x)dx=x^-2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-2:
l(x^-1-y^2x^-2r)dx + l(2yx^-1r)dy = 0
Agora
tilde M=x^-1-y^2x^-2, tilde N=2yx^-1,
e checamos:
partialtilde Mpartial y=-2y,x^-2, partialtilde Npartial x=-2y,x^-2,
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x=tilde M= x^-1-y^2x^-2
Integrando em x:
Psi(x,y)=integrall(x^-1-y^2x^-2r)dx=ln|x|+y^2x+h(y)

Passo 6

Usando partialPsi/partial y=tilde N=2y/x, temos
partialPsipartial y=2yx+h'(y)=2yx,
logo h'(y)=0 e h(y)=constante. A solução implícita é
ln|x|+y^2x=C

Resposta

A solução geral é
ln|x|+y^2x=C

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