Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
2 x y y{\prime}+x=y{2}
2 x y y{\prime}+x=y{2}
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
Não é imediatamente exata, mas podemos tentar achar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial
, temos
onde
Passo 3
Verificamos exatidão:
Como não são iguais, a equação não é exata. Calculamos
que depende apenas de
, logo existe um fator integrante
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora
e checamos:
logo a equação é exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
Integrando em
Passo 6
Usando
, temos
logo
Resposta
A solução geral é