Exercício 3: Calcule
, onde
é o sólido limitado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelas duas semiesferas superiores de raios 1 e 2 dadas por
e
. Como ambas as superfícies têm simetria circular, vamos usar coordenadas cilíndricas. Precisaremos lembrar que em coordenadas cilíndricas
,
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, precisamos achar os limites de
,
e
. A superfície
só existe para
, e a
existe para
. Como queremos o volume entre as duas, a região de integração em
é de 0 a 1,
de 0 a
, e
varia de
até
.
Passo 3
Escrevendo a integral, temos:
Passo 4
Agora integramos primeiro em
. Como
,
Passo 5
Substituindo de volta:
Passo 6
Calculamos as integrais simples:
Passo 7
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