Exercício 3: Calcule
integral triplaE z d V, onde E é o sólido limitado por z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaE z,dV, onde E é o sólido limitado pelas duas semiesferas superiores de raios 1 e 2 dadas por z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2. Como ambas as superfícies têm simetria circular, vamos usar coordenadas cilíndricas. Precisaremos lembrar que em coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, precisamos achar os limites de r, theta e z. A superfície z=raiz1-r^2 só existe para r<=1, e a z=raiz4-r^2 existe para r<=2. Como queremos o volume entre as duas, a região de integração em r é de 0 a 1, theta de 0 a 2pi, e z varia de raiz1-r^2 até raiz4-r^2.

Passo 3

Escrevendo a integral, temos:
integral triplaE z,dV = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=raiz1-r^2^raiz4-r^2 z ;r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos primeiro em z. Como integral z,dz = tfrac12 z^2,
integralz=raiz1-r^2^raiz4-r^2 z,dz = 12l[(raiz4-r^2)^2 - (raiz1-r^2)^2r] = 12l[(4-r^2)-(1-r^2)r] = 32

Passo 5

Substituindo de volta:
integral triplaE z,dV = integral0^2pi integral0^1 32,r;dr,dtheta = 32 l(integral0^2pidthetar)l(integral0^1r,drr)

Passo 6

Calculamos as integrais simples:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^1r,dr = 12

Passo 7

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integral triplaE z,dV = 32 times 2pi times 12 = 3pi2

Resposta

3pi2

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