Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar rearranjar os termos para facilitar a aplicação das técnicas que conhecemos, como o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais simples dividindo todos os termos por
. Assim, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação linear:
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
O fator integrante nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar ambos os lados facilmente.
Passo 4
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Perceba que a esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Por fim, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação é
, válida para todo
diferente de zero.