Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
t^2 d yd t+t y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: t^2 d yd t + t y = 1 . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar rearranjar os termos para facilitar a aplicação das técnicas que conhecemos, como o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais simples dividindo todos os termos por t^2 . Assim, temos:
d yd t + 1t y = 1t^2
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação linear: d yd t + P(t) y = Q(t) , onde P(t) = 1t e Q(t) = 1t^2 .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1t dt = e^ln |t| = t
O fator integrante nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar ambos os lados facilmente.

Passo 4

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante t :
t cdot d yd t + t cdot 1t y = t cdot 1t^2
Isso simplifica para:
t d yd t + y = 1t
Perceba que a esquerda da equação agora é a derivada do produto t y . Ou seja:
dd t(t y) = 1t

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral dd t(t y) dt = integral 1t dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente t y , e a do lado direito é ln |t| + C , onde C é a constante de integração. Então:
t y = ln |t| + C

Passo 6

Por fim, isolamos y para encontrar a solução geral:
y = ln |t| + Ct

Resposta

A solução geral da equação é y(t) = ln |t| + Ct , válida para todo t diferente de zero.

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