Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial de primeira ordem:
. Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que ajuda a simplificar equações desse tipo para que possamos encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada do produto:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 6
Agora, igualamos as integrais:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação é
, definida para todo
.