Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d yd t+3 t^2 y=t^2

Passo 1

Então, temos a equação diferencial de primeira ordem: dydt + 3 t^2 y = t^2. Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que ajuda a simplificar equações desse tipo para que possamos encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é dydt + P(t) y = Q(t). Aqui, P(t) = 3t^2 e Q(t) = t^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Calculando a integral:
integral 3t^2 dt = t^3
Então,
mu(t) = e^t^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^t^3 dydt + 3t^2 e^t^3 y = t^2 e^t^3
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada do produto:
ddt ( e^t^3 y ) = t^2 e^t^3

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( e^t^3 y ) dt = integral t^2 e^t^3 dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^t^3 y. Para o lado direito, fazemos uma substituição simples: seja u = t^3, então du = 3t^2 dt, ou seja, t^2 dt = du3. Assim:
integral t^2 e^t^3 dt = 13 integral e^u du = 13 e^u + C = 13 e^t^3 + C

Passo 6

Agora, igualamos as integrais:
e^t^3 y = 13 e^t^3 + C
Para isolar y, dividimos ambos os lados por e^t^3:
y = 13 + C e^-t^3

Resposta

A solução geral da equação é y(t) = 13 + C e^-t^3, definida para todo t in R.

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