Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
, onde C é o caminho fechado formado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Aqui,
é um caminho fechado que forma um retângulo com os lados definidos por
,
,
e
. Pra resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa integral de linha. No caso:
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
Onde
é a região encerrada pela curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais que precisamos. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Subtraindo essas derivadas, temos:
Passo 7
Então, a integral dupla fica:
O que significa que estamos calculando a área da região
.
Passo 8
A região
é um retângulo com lados de comprimento 1 (de
a
e de
a
). Assim, a área é:
Resposta
O valor da integral de linha é
.