Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: ointC(-x^2 y1+x^2) d x+arctg(x) d y, onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1, y=1, x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
ointC(-x^2 y1+x^2) dx + arctg(x) dy
Aqui, C é um caminho fechado que forma um retângulo com os lados definidos por y=0 , x=1 , y=1 e x=0 . Pra resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P e Q na nossa integral de linha. No caso:
P(x, y) = -x^2 y1 + x^2
Q(x, y) = arctg(x)

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Onde D é a região encerrada pela curva C .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que precisamos. Primeiro, a derivada parcial de Q em relação a x :
partial Qpartial x = ddx arctan(x) = 11 + x^2

Passo 5

Agora, a derivada parcial de P em relação a y :
partial Ppartial y = ddy ( -x^2 y1 + x^2 ) = -x^21 + x^2

Passo 6

Subtraindo essas derivadas, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 11 + x^2 - ( -x^21 + x^2 ) = 1 + x^21 + x^2 = 1

Passo 7

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dx,dy
O que significa que estamos calculando a área da região D .

Passo 8

A região D é um retângulo com lados de comprimento 1 (de x = 0 a x = 1 e de y = 0 a y = 1 ). Assim, a área é:
Área = 1 times 1 = 1Á

Resposta

O valor da integral de linha é 1 .

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