Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: ointC(-y^2+arctg(x)) d x+ln (x) d y, onde C é o caminho fechado formado por y=x^2 e x=y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha específica: ointC(-y^2+arctan(x)) dx + ln(x) dy. O caminho C é formado pelas curvas y = x^2 e x = y^2. Então, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P e Q são as funções que multiplicam dx e dy na integral de linha, respectivamente, e D é a região interior ao contorno C.

Passo 3

No nosso caso, temos:
  • P = -y^2 + arctan(x)
  • Q = ln(x)
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • partial Qpartial x = ddx ln(x) = 1x
  • partial Ppartial y = ddy (-y^2 + arctan(x)) = -2y

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em:
integral duplaD ( 1x - (-2y) ) dA = integral duplaD ( 1x + 2y ) dA
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral dupla sobre a região D delimitada por y = x^2 e x = y^2.

Passo 5

Vamos entender a região D. As curvas y = x^2 e x = y^2 se intersectam em pontos onde y = x^2 e x = y^2. Substituindo, temos y = (y^2)^2 = y^4. Resolvendo y = y^4, temos y^4 - y = 0, ou seja, y(y^3 - 1) = 0. As soluções são y = 0 e y = 1. Assim, os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1).

Passo 6

Para configurar a integral dupla, podemos identificar que, entre x = 0 e x = 1, a curva de cima é y = raizx (derivada de x = y^2) e a curva de baixo é y = x^2. Assim, os limites de integração ficam:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de x^2 a raizx

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla:
integral0^1 integralx^2^raizx ( 1x + 2y ) dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, vamos integrar em relação a y:
integralx^2^raizx ( 1x + 2y ) dy = 1x ( raizx - x^2 ) + ( y^2 ) |x^2^raizx = raizx - x^2x + ( (raizx)^2 - (x^2)^2 )
Simplificando:
raizx - x^2x = 1raizx - x
E:
(raizx)^2 - (x^2)^2 = x - x^4
Então, a integral interna resulta em:
( 1raizx - x ) + ( x - x^4 ) = 1raizx - x + x - x^4 = 1raizx - x^4

Passo 9

Agora, integramos isso em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( 1raizx - x^4 ) dx = integral0^1 x^-1/2 dx - integral0^1 x^4 dx
Calculando cada integral separadamente:
Para integral x^-1/2 dx:
integral x^-1/2 dx = 2x^1/2 + C
Para integral x^4 dx:
integral x^4 dx = x^55 + C

Passo 10

Aplicando os limites de 0 a 1:
2x^1/2 |0^1 - x^55 |0^1 = 2(1) - 0 - ( 15 - 0 ) = 2 - 15 = 105 - 15 = 95

Resposta

A integral de linha vale dfrac95.

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