Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: , onde C é o caminho fechado formado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha específica: . O caminho é formado pelas curvas e . Então, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, e são as funções que multiplicam e na integral de linha, respectivamente, e é a região interior ao contorno .
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em:
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral dupla sobre a região delimitada por e .
Passo 5
Vamos entender a região . As curvas e se intersectam em pontos onde e . Substituindo, temos . Resolvendo , temos , ou seja, . As soluções são e . Assim, os pontos de interseção são e .
Passo 6
Para configurar a integral dupla, podemos identificar que, entre e , a curva de cima é (derivada de ) e a curva de baixo é . Assim, os limites de integração ficam:
varia de 0 a 1
Para cada , varia de a
Passo 7
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Simplificando:
raizx - x^2x = 1raizx - x
E:
(raizx)^2 - (x^2)^2 = x - x^4
Então, a integral interna resulta em:
( 1raizx - x ) + ( x - x^4 ) = 1raizx - x + x - x^4 = 1raizx - x^4