Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
t d yd t+4 y=t^3-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial t dydt + 4 y = t^3 - t . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e descobrir em qual intervalo de t essa solução faz sentido. Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve achar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares. Dividindo tudo por t (lembrando que t não pode ser zero), temos:
dydt + 4t y = t^2 - 1
Aqui, identificamos que P(t) = 4t e Q(t) = t^2 - 1 .

Passo 3

Agora, vamos achar o fator integrante mu(t) . Esse fator é calculado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 4t , dt = e^4 ln |t| = |t|^4
Como estamos considerando t > 0 , podemos simplificar para mu(t) = t^4 .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante t^4 :
t^4 dydt + t^4 cdot 4t y = t^4(t^2 - 1)
Simplificando:
t^4 dydt + 4 t^3 y = t^6 - t^4

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto t^4 y :
ddt (t^4 y) = t^6 - t^4
Isso facilita muito a resolução!

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt (t^4 y) , dt = integral (t^6 - t^4) , dt
Isso resulta em:
t^4 y = t^77 - t^55 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, isolamos y dividindo tudo por t^4 :
y = t^77 t^4 - t^55 t^4 + Ct^4
Simplificando as potências de t :
y = t^37 - t5 + Ct^4

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = t^37 - t5 + Ct^4
Essa solução está definida para todos os t diferentes de zero, ou seja, t in R setminus 0 .

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