Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e descobrir em qual intervalo de
essa solução faz sentido. Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve achar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares. Dividindo tudo por
(lembrando que
não pode ser zero), temos:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar o fator integrante
. Esse fator é calculado por:
Como estamos considerando
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso facilita muito a resolução!
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, isolamos
dividindo tudo por
:
Simplificando as potências de
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Essa solução está definida para todos os
diferentes de zero, ou seja,
.