Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d yd t t+5 y=0, y(0)=3

Passo 1

No enunciado temos um PVI de primeira ordem do tipo
dydt + 5,y = 0,
com condição inicial y(0)=3. Trata-se de uma equação linear homogênea de coeficiente constante. Para resolvê-la, podemos usar separação de variáveis ou fator integrante.

Passo 2

Vamos aplicar separação de variáveis. Reescrevendo
1y,dydt = -5,
integramos ambos os lados em relação a t:
integral 1y,dy = integral -5,dt Longrightarrow ln|y| = -5t + C
Exponentiando, obtemos a solução geral
y(t) = A,e^-5t,
onde A = e^C é a constante de integração.

Passo 3

Agora impomos a condição inicial y(0)=3:
y(0) = A,e^0 = A = 3
Portanto, a solução particular é
y(t) = 3,e^-5t

Passo 4

O termo f(t,y)=-5y é contínuo e Lipschitz em y para todo (t,y)inR^2. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard– Lindel"of, a solução existe e é única em toda reta real, não surgindo singularidades.

Resposta

y(t) = 3,e^-5t, tin(-infty,infty)

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