Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
t^2 d yd t+t(t+2) y=e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede pra achar a solução geral da equação t^2 dydt + t(t+2) y = e^t e o maior intervalo onde essa solução vale. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação pra deixar bem clara. Dividimos todos os termos por t^2 para isolar dydt:
dydt + t+2t y = e^tt^2
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
dydt + P(t) y = Q(t)
onde P(t) = t+2t e Q(t) = e^tt^2 .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante. O fator integrante ( mu(t) ) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Vamos calcular essa integral:
P(t) = t+2t = 1 + 2t
Então,
integral P(t) dt = integral (1 + 2t) dt = t + 2 ln |t|
Portanto,
mu(t) = e^t + 2 ln |t| = e^t cdot e^2 ln |t| = e^t cdot t^2

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^t t^2 dydt + e^t t^2 cdot t+2t y = e^t t^2 cdot e^tt^2
Simplificando:
e^t t^2 dydt + e^t (t+2) t y = e^2t
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(t) y :
ddt ( e^t t^2 y ) = e^2t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^t t^2 y ) dt = integral e^2t dt
Isso nos dá:
e^t t^2 y = 12 e^2t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos y para encontrar a solução geral:
y = 12 e^t cdot e^2te^t t^2 + C cdot 1e^t t^2 = 12 e^t + Ce^t t^2
Simplificando mais:
y = 12 e^t + C e^-t t^-2

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = 12 e^t + C cdot e^-tt^2
E o maior intervalo onde essa solução está definida é para todos os t positivos, ou seja, t > 0 .

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