Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede pra achar a solução geral da equação
e o maior intervalo onde essa solução vale. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação pra deixar bem clara. Dividimos todos os termos por
para isolar
:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Simplificando mais:
Resposta
A solução geral da equação é
E o maior intervalo onde essa solução está definida é para todos os
positivos, ou seja,
.