Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d yd t=2 t+3 y, y(0)=13

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
dydt=2t+3y, y(0)=13,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão:
dydt-3y=2t
O fator integrante é
mu(t)=e^integral -3,dt=e^-3t

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(t):
e^-3tdydt-3e^-3ty=2t,e^-3t
O lado esquerdo é exatamente
ddtl(e^-3tyr),
logo
ddtl(e^-3tyr)=2t,e^-3t

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
integral ddtl(e^-3tyr),dt =integral 2t,e^-3t,dt
Usando integração por partes em integral 2t,e^-3t,dt, obtemos
integral 2t,e^-3t,dt =-23t,e^-3t-29e^-3t+C

Passo 5

Então
e^-3ty =-23t,e^-3t-29e^-3t+C
e, multiplicando por e^3t,
y(t)=-23t-29+Ce^3t

Passo 6

Impondo y(0)=tfrac13:
13 =-0-29+C Longrightarrow C=13+29=59

Passo 7

Logo a solução particular é
y(t)=59e^3t-23t-29
Como não há pontos singulares (é soma de exponencial e polinomial), ela está definida para todo tinR.

Resposta

y(t)=59e^3t-23t-29, tin(-infty,infty)

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