QUESTÃO 6) A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido resulta num vetor cujo módulo vale 8. Quando estes vetores são colocados perpendicularmente, entre si, o módulo do vetor resultante vale 42. Portanto, os valores dos módulos destes vetores são
A) 1 e 7 .
B) 2 e 6 .
C) 3 e 5 .
D) 4 e 4 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a soma de dois vetores que têm a mesma direção e sentido, resultando em um vetor com módulo 8. Depois, quando colocamos esses mesmos vetores perpendicularmente, o vetor resultante tem módulo 42. A matéria que vamos usar aqui é operações com vetores, especialmente adição de vetores e teorema de Pitágoras para vetores perpendiculares. Precisamos descobrir os módulos individuais desses dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a situação em que os vetores estão na mesma direção e sentido. Quando dois vetores estão assim, a soma dos vetores é simplesmente a soma dos seus módulos. Se chamarmos os módulos dos vetores de $ A $ e $ B $, temos:
A

Passo 3

Agora, vamos para a situação onde os vetores estão perpendiculares entre si. Quando dois vetores são perpendiculares, o módulo do vetor resultante pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras. Isso significa que:
raizA^2 + B^2 = 42
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
A^2 + B^2 = 42^2 A^2 + B^2 = 1764

Passo 4

Agora temos duas equações:
  1. $ A + B = 8 $
  2. $ A^2 + B^2 = 1764 $
Vamos usar a primeira equação para expressar $ B $ em termos de $ A $:
A + B = 8

Passo 5

Substituímos $ B $ na segunda equação:
B
Expande o termo $ (8 - A)^2 $:
A^2 + (8 - A)^2 = 1764
Simplificando:
(8 - A)^2

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
2A^2 - 16A + 64 - 1764 = 0 2A^2 - 16A - 1700 = 0
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
A^2 - 8A - 850 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
A^2 - 8A - 850 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
A = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 1 cdot (-850)2 cdot 1 A = 8 pm raiz64 + 34002 A = 8 pm raiz34642 A = 8 pm 58.832
Obtemos duas soluções:
A = 8 + 58.832 = 33.415 A = 8 - 58.832 = -25.415
Como módulo não pode ser negativo, descartamos a segunda solução. Então:
A approx 33.415

Passo 8

Agora, lembrando que $ B = 8 - A $:
B = 8 - A
Novamente, o módulo não pode ser negativo, o que indica que talvez tenhamos algum erro no enunciado ou nos cálculos. Dado que nenhuma das opções se encaixa com os valores obtidos, provavelmente houve um equívoco nos números fornecidos.

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas corresponde aos módulos dos vetores conforme os cálculos realizados.

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