QUESTAO IV.
Se água (ou outro líquido) está vazando de um tanque, esperamos que o escoamento seja maior no começo (quando o tanque estiver mais cheio) e que vá gradualmente diminuindo à medida que o nível de água do tanque diminui. Mas queremos uma descrição matemática mais precisa de como o escoamento decresce, a fim de responder às perguntas que os engenheiros fazem: após quanto tempo o tanque estará completamente vazio? Quão cheio o tanque deve estar para garantir uma pressão mínima a um sistema de irrigação?
Sejam
e
a altura e o volume de água em um tanque no instante
. Se a água escorre por um buraco com área a no fundo do tanque, então a Lei de Torricelli diz que:
onde g é a aceleração da gravidade. Logo, a taxa na qual a água escoa do tanque é proporcional à raiz quadrada da altura da água.
(a) Suponha que o tanque seja cilíndrico com altura igual a 2 m e raio igual a 1 m e que o buraco seja um círculo com raio igual a 2 cm . Se tomarmos
, mostre que h satisfaz a equação diferencial:
(a) Suponha que o tanque seja cilíndrico com altura igual a 2 m e raio igual a 1 m e que o buraco seja um círculo com raio igual a 2 cm . Se tomarmos
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo de forma clara):
- A Lei de Torricelli afirma que a vazão volumétrica é
onde
é a área do buraco no fundo,
é a aceleração da gravidade e
é a altura da água no tempo
.
- O tanque é cilíndrico com altura
e raio . (Aqui só interessa o raio da base para a relação .) - O buraco tem raio
, ou seja . - Devemos tomar
. - O objetivo da parte (a) é mostrar que
satisfaz a equação diferencial solicitada:
Passo 2
Relacionar volume
com altura
para um cilindro: o volume de um cilindro de raio
e altura
é a área da base vezes
. Escrevemos isso em forma matemática:
No nosso caso
, então
Explicação didática: a base é um círculo de área
. Como o cilindro tem raio
, a área da base é
(em
), e multiplicando por
obtemos o volume (em
).
Passo 3
Derivar
em relação ao tempo
. Como
depende de
apenas via
, aplicamos a regra da cadeia (aqui é direto porque
é proporcional a
):
Interpretação: a variação do volume por unidade de tempo é a área da base multiplicada pela velocidade de descida do nível (
).
Passo 4
Usar a Lei de Torricelli dada e igualá-la à expressão obtida para
. Temos
Isolando
,
Aqui mostramos a forma geral antes de substituir os números. Explicação didática: dividimos ambos os lados por
(número constante) para obter a taxa de variação da altura.
Passo 5
Calcular numericamente a área do buraco
e o coeficiente
.
- O raio do buraco é
, então
- Logo
Explicação didática: a área do círculo é
. Como
, a
cancela ao dividir por
, restando o número
.
Passo 6
Substituir
e
na expressão de
. Observando que
, concluímos a equação diferencial buscada.