Questão 4. Ainda considerando o modelo de Drude, um campo elétrico interno é estabelecido quando se aplica externamente sobre uma barra condutora campos elétrico (
) e magnético (
) perpendiculares entre si (efeito Hall). ( 0,5 pontos) Qual é a direção do campo elétrico interno em termos dos campos externos aplicados? (
pontos) Em função dos campos externos e considerando-os estáticos, determine o tempo característico da formação do campo elétrico interno.
Passo 1
O enunciado fala do modelo de Drude aplicado ao efeito Hall: uma barra condutora submetida a um campo elétrico externo
e a um campo magnético externo
perpendiculares. A tarefa é achar (a) a direção do campo elétrico interno formado pelo acúmulo de carga e (b) o tempo típico de estabelecimento desse campo. Vamos usar a equação de movimento de Drude incluindo a força de Lorentz e o termo de relaxação.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento média do elétron no modelo de Drude:
Passo 3
Passo 4
m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\bigl(\mathbf{E}_0 + \mathbf{v}\times\mathbf{B}_0\bigr) - \frac{m\mathbf{v}}{\tau},
Passo 5
]
Passo 6
onde
é o tempo de relaxação por colisões. No regime estacionário sem campo magnético consideramos primeiro
para achar a velocidade de deriva:
Passo 7
Passo 8
0 = -e\mathbf{E}_0 - \frac{m\mathbf{v}_d}{\tau}
Passo 9
\quad\Longrightarrow\quad
Passo 10
\mathbf{v}_d = -\frac{e\tau}{m},\mathbf{E}_0.
Passo 11
]
Passo 12
Esse
está antiparalelo a
, pois o elétron é carga negativa.
Passo 13
Agora voltamos ao caso completo com
e procuramos o equilíbrio na direção perpendicular (digamos
se
está em
e
em
). No estado estacionário na direção
temos
e
, logo a força de Lorentz
é balanceada pelo campo interno
:
Passo 14
Passo 15
0 = -e\bigl(E_{int} + v_d B_0\bigr)
Passo 16
\quad\Longrightarrow\quad
Passo 17
E_{int} = -!\bigl(v_d B_0\bigr).
Passo 18
]
Passo 19
Como
, o produto vetorial dá
Passo 20
Passo 21
\mathbf{E}_{int} \propto -\bigl(-\mathbf{E}_0\bigr)\times \mathbf{B}_0 = \mathbf{E}_0\times \mathbf{B}_0.
Passo 22
]
Passo 23
Portanto o campo elétrico interno é dirigido segundo
.
Passo 24
Para estimar o tempo de formação desse campo, basta notar que a componente de velocidade perpendicular satisfaz uma equação com termo de relaxação
. Isso implica que qualquer desvio de equilíbrio na direção perpendicular decai ou se estabelece com constante de tempo
.
Passo 25
Assim o campo interno cresce exponencialmente até o valor de equilíbrio com constante de tempo característica
.
Resposta
A direção do campo elétrico interno é paralela a
. O tempo característico de formação desse campo é o próprio tempo de relaxação do modelo de Drude, ou seja,
.