Questão 4. Ainda considerando o modelo de Drude, um campo elétrico interno é estabelecido quando se aplica externamente sobre uma barra condutora campos elétrico ( E0 ) e magnético ( B0 ) perpendiculares entre si (efeito Hall). ( 0,5 pontos) Qual é a direção do campo elétrico interno em termos dos campos externos aplicados? ( 2 , 0 pontos) Em função dos campos externos e considerando-os estáticos, determine o tempo característico da formação do campo elétrico interno.

Passo 1

O enunciado fala do modelo de Drude aplicado ao efeito Hall: uma barra condutora submetida a um campo elétrico externo E0 e a um campo magnético externo B0 perpendiculares. A tarefa é achar (a) a direção do campo elétrico interno formado pelo acúmulo de carga e (b) o tempo típico de estabelecimento desse campo. Vamos usar a equação de movimento de Drude incluindo a força de Lorentz e o termo de relaxação.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento média do elétron no modelo de Drude:

Passo 3

Passo 4

m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\bigl(\mathbf{E}_0 + \mathbf{v}\times\mathbf{B}_0\bigr) - \frac{m\mathbf{v}}{\tau},

Passo 5

]

Passo 6

onde tau é o tempo de relaxação por colisões. No regime estacionário sem campo magnético consideramos primeiro B0=0 para achar a velocidade de deriva:

Passo 7

Passo 8

0 = -e\mathbf{E}_0 - \frac{m\mathbf{v}_d}{\tau}

Passo 9

\quad\Longrightarrow\quad

Passo 10

\mathbf{v}_d = -\frac{e\tau}{m},\mathbf{E}_0.

Passo 11

]

Passo 12

Esse vd está antiparalelo a E0, pois o elétron é carga negativa.

Passo 13

Agora voltamos ao caso completo com B0 e procuramos o equilíbrio na direção perpendicular (digamos y se E0 está em x e B0 em z). No estado estacionário na direção y temos dvy/dt=0 e vy=0, logo a força de Lorentz -e(vdtimes B0) é balanceada pelo campo interno -eEint:

Passo 14

Passo 15

0 = -e\bigl(E_{int} + v_d B_0\bigr)

Passo 16

\quad\Longrightarrow\quad

Passo 17

E_{int} = -!\bigl(v_d B_0\bigr).

Passo 18

]

Passo 19

Como vdparal<=l -E0, o produto vetorial dá

Passo 20

Passo 21

\mathbf{E}_{int} \propto -\bigl(-\mathbf{E}_0\bigr)\times \mathbf{B}_0 = \mathbf{E}_0\times \mathbf{B}_0.

Passo 22

]

Passo 23

Portanto o campo elétrico interno é dirigido segundo E0timesB0.

Passo 24

Para estimar o tempo de formação desse campo, basta notar que a componente de velocidade perpendicular satisfaz uma equação com termo de relaxação -m vy/tau. Isso implica que qualquer desvio de equilíbrio na direção perpendicular decai ou se estabelece com constante de tempo tau.

Passo 25

Assim o campo interno cresce exponencialmente até o valor de equilíbrio com constante de tempo característica tau.

Resposta

A direção do campo elétrico interno é paralela a E0timesB0. O tempo característico de formação desse campo é o próprio tempo de relaxação do modelo de Drude, ou seja, tau.

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