Questão 6. (2,0 pontos) Determine a energia de Fermi em elétron-volts em um cristal de cobre ^1. Considerando a teoria de bandas, o elétron de maior energia estará na banda de menor energia? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia de Fermi em eV em um cristal de cobre e, depois, discutir em qual banda estará o elétron de maior energia segundo a teoria de bandas. Vamos usar o modelo de gás livre de elétrons, a densidade de elétrons de condução e a fórmula da energia de Fermi.

Passo 2

Em metais monovalentes como o cobre, cada átomo fornece aproximadamente um elétron de condução. A densidade de elétrons é dada por
n=Z,NA,rhoM
onde Z=1, NA=6,02times10^23,mol^-1, rho=8,96times10^3,kg/m^3 e M=63,5times10^-3,kg/mol. Substituindo, obtemos
napprox8,5times10^28,m^-3

Passo 3

A energia de Fermi em um gás livre é
EF=hbar^22mel(3pi^2nr)^2/3,
com hbar=1,055times10^-34,J,s e me=9,11times10^-31,kg. Calculando o fator (3pi^2n)^2/3 e multiplicando pelo prefactor, achamos
EFapprox1,13times10^-18,J

Passo 4

Convertendo para elétron-volts usando 1,eV=1,602times10^-19,J, temos
EFapprox1,13times10^-181,602times10^-19approx7,05,eV

Passo 5

Segundo a teoria de bandas, no zero absoluto todas as bandas de energia começam a se preencher da mais baixa para a mais alta. As bandas totalmente preenchidas abaixo de EF são as bandas de valência, e a banda que contém EF é a banda de condução (parcialmente preenchida). Portanto, o elétron de maior energia ocupa o topo da banda de condução, não a banda de menor energia.

Resposta

Energia de Fermi EFapprox7,0,eV. O elétron de maior energia fica na banda de condução (parcialmente preenchida), ou seja, não está na banda de menor energia.

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