Questão 5. ( 0,5 pontos) Escreva em equações o teorema de Bloch para a função de onda de matéria e a energia de um elétron considerando respectivamente os vetores da rede cristalina (
) e da rede recíproca
. ( 1,0 pontos) Diferente do modelo de Drude, qual é a consequência do potencial periódico da estrutura cristalina para a condutividade dos materiais? ( 0,5 pontos) O que acontece com a velocidade do elétron nas bordas das zonas de Brillouin.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) escrever as equações do teorema de Bloch para a função de onda e para a energia de um elétron num potencial periódico, usando os vetores de rede
e recíproca
; (2) explicar como o potencial periódico altera a condutividade, em contraste com o modelo de Drude; (3) descrever o que acontece com a velocidade do elétron nas bordas das zonas de Brillouin. Para resolver vamos usar conceitos de teoria de bandas e grupo de ondas em cristais.
Passo 2
A fórmula de Bloch para a função de onda diz que deslocar a posição de um vetor de rede não muda a forma da onda, apenas introduz um fator de fase. Escrevemos:
Passo 3
Passo 4
Além disso, devido à periodicidade recíproca, a energia eletrônica repete-se quando \vec{k} é trocado por \vec{k}+\vec{G}. Assim:
Passo 5
Passo 6
No modelo de Drude assumimos elétrons livres e sem estrutura de bandas, o que previa condutividade alta sem lacunas. Com o potencial periódico, ocorre espalhamento cristalográfico e surgem bandas permitidas e gaps de energia. Isso faz com que apenas elétrons em bandas parcialmente preenchidas contribuam para a condução, e nos gaps não haja estados disponíveis, reduzindo e modulando a condutividade.
Passo 7
A velocidade de grupo do elétron é dada por \vec{v}(\vec{k}) = (1/\hbar) ∇_{\vec{k}} \varepsilon(\vec{k}). Nas bordas das zonas de Brillouin a curvatura da banda muda sinal e o gradiente de \varepsilon vira zero, portanto a velocidade do elétron se anula.
Resposta
- Bloch teorema para a função de onda:
- Periodicidade da energia:
- Consequência para a condutividade: formação de bandas permitidas e gaps, limitando a condução aos elétrons em bandas parcialmente preenchidas.
- Velocidade nas bordas de zona de Brillouin: \vec{v}(\vec{k}) = (1/\hbar) ∇_{\vec{k}} \varepsilon(\vec{k}), que zera nas bordas (\nabla_{\vec{k}} \varepsilon = 0).