Questão 4
Ainda não respondida
Vale 2,00 ponto(s).
Calcule \int_{C} F \cdot d r, onde F(x, y, z)=\left[-y^{2}, x, z^{2}\right] e C é a curva da intersecção do plano y+z=2 com o cilindro x^{2}+y^{2}=1. (Oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima).
OBS: Utilize duas casas decimais na resposta, e caso precise, \pi=3,14.
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{C}F\cdot d r
onde F(x,y,z)=\bigl[-y^{2},\,x,\,z^{2}\bigr] e C é a curva fechada dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano y+z=2, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
O conteúdo principal é integral de linha de campo vetorial e vamos usar parametrização de curvas espaciais e cálculo de \int F(r(t))\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Como C está no cilindro x^{2}+y^{2}=1, usamos
x=\cos t,\quad y=\sin t
e, do plano y+z=2, segue
z=2-\sin t.
Portanto definimos a parametrização
r(t) = \bigl(\cos t,\\ \sin t,\\\ 2-\sin t\bigr),
com t variando de 0 até 2\pi. Essa escolha faz C ser percorrida no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 3

Calculamos a derivada de r(t) e avaliamos F em r(t):
r'(t) = \bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ -\cos t\bigr),
F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(-\sin^{2}t,\\ \cos t,\\ (2-\sin t)^{2}\bigr).

Passo 4

O produto escalar fica
F(r(t))\cdot r'(t) = (-\sin^2 t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) + (2-\sin t)^{2}(-\cos t)
= \sin^3 t + \cos^2 t \;-\;(2-\sin t)^2\,\cos t.
Logo
\oint_{C}F\cdot dr =\int_{0}^{2\pi}\bigl[\sin^3 t + \cos^2 t - (2-\sin t)^2\cos t\bigr]\,dt.
Separamos em três integrais:
\int_{0}^{2\pi}\sin^3 t\,dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt = \pi, \quad \int_{0}^{2\pi}(2-\sin t)^2\cos t\,dt = 0.
As duas primeiras são padrão e a terceira anula-se por ser integral de derivada de função periódica.

Passo 5

Somando os resultados,
\oint_{C}F\cdot dr = 0 + \pi - 0 = \pi.
Adotando \pi=3{,}14 e duas casas decimais, a resposta é

Resposta

3,14

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