1^{\text {a }} QUESTÃO - Utilize transformadas de Laplace para resolver o seguinte P.V.I.:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=x^{2} e^{3 x}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=17

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = x^2 e^{3x},\quad y(0)=2,\quad y'(0)=17
usando transformadas de Laplace. Vamos aplicar a transformada a cada termo da equação, usar a fórmula de derivadas e a fórmula para
\mathcal{L}\{x^n e^{ax}\}, e em seguida inverter a transformada obtida.

Passo 2

Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(x)\}. Aplicando \mathcal{L} em cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-2s-17,
\mathcal{L}\{-6y'\}=-6\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=-6sY(s)+12,
\mathcal{L}\{9y\}=9Y(s).
Logo, a transformada da equação diferencial é
(s^2Y-2s-17)\;+\;(-6sY+12)\;+\;9Y \;=\;\mathcal{L}\{x^2e^{3x}\}.

Passo 3

Usamos a fórmula
\mathcal{L}\{x^n e^{ax}\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
com n=2 e a=3. Assim,
\mathcal{L}\{x^2e^{3x}\}=\frac{2!}{(s-3)^3}=\frac{2}{(s-3)^3}.

Passo 4

Reunindo termos em Y(s) no lado esquerdo, temos
\bigl(s^2 -6s +9\bigr)Y(s)\;-\;2s-17+12 \;=\;\frac{2}{(s-3)^3}.
Como s^2-6s+9=(s-3)^2 e -2s-5 é o termo constante, obtemos
(s-3)^2\,Y(s) = \frac{2}{(s-3)^3} +2s+5.
Logo
Y(s)=\frac{2}{(s-3)^5} \;+\;\frac{2s+5}{(s-3)^2}.

Passo 5

Para inverter mais facilmente, decompomos
\frac{2s+5}{(s-3)^2} =\frac{2\,(s-3)+11}{(s-3)^2} =\frac{2}{s-3}+\frac{11}{(s-3)^2}.
Portanto
Y(s)=\frac{2}{(s-3)^5} \;+\;\frac{2}{s-3} \;+\;\frac{11}{(s-3)^2}.

Passo 6

Usamos as inversas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-3}\Bigr\}=e^{3x},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s-3)^2}\Bigr\}=x\,e^{3x},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s-3)^5}\Bigr\}=\frac{x^4}{4!}\,e^{3x}.
Logo
y(x) =2\,e^{3x} +11\,x\,e^{3x} +2\cdot\frac{x^4}{4!}\,e^{3x} =2\,e^{3x}+11x\,e^{3x}+\frac{1}{12}\,x^4\,e^{3x}.

Resposta

y(x)=e^{3x}\Bigl(2+11x+\tfrac{1}{12}x^4\Bigr).

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