Repita o Exercício 15 para a integral \iint_{R} \operatorname{sen}(x+\sqrt{y}) d A, onde R=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R}\operatorname{sen}(x+\sqrt{y})\,dA
sobre o retângulo R=[0,1]\times[0,1]. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como iterada e, em seguida, técnicas de cálculo de integrais simples (integração direta, substituição e partes).

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, temos
\iint_{R}\operatorname{sen}(x+\sqrt{y})\,dA =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{1}\operatorname{sen}(x+\sqrt{y})\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x, tratando \sqrt{y} como constante:
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x+\sqrt{y})\,dx =\Bigl[-\cos(x+\sqrt{y})\Bigr]_{x=0}^{x=1} =-\cos(1+\sqrt{y})+\cos(\sqrt{y}).

Passo 4

Substituindo na integral em y, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(\cos(\sqrt{y})-\cos(1+\sqrt{y})\bigr)\,dy.

Passo 5

Para resolver cada termo, usamos a substituição
t=\sqrt{y},\quad y=t^{2},\quad dy=2t\,dt,
com t variando de 0 a 1.

Passo 6

Fica então
\int_{0}^{1}\cos(\sqrt{y})\,dy =2\int_{0}^{1}t\cos(t)\,dt, \quad \int_{0}^{1}\cos(1+\sqrt{y})\,dy =2\int_{0}^{1}t\cos(1+t)\,dt.
Chamando
I_{1}=\int_{0}^{1}t\cos(t)\,dt, \quad I_{2}=\int_{0}^{1}t\cos(1+t)\,dt,
resolvemos por partes ( u=t, dv=\cos(\dots)\,d(\dots)):
I_{1} =[t\sin(t)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\sin(t)\,dt =\sin(1)-\bigl(-\cos(1)+\cos(0)\bigr) =\sin(1)+\cos(1)-1,
I_{2} =[t\sin(1+t)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\sin(1+t)\,dt =\sin(2)-\bigl(-\cos(2)+\cos(1)\bigr) =\sin(2)+\cos(2)-\cos(1).

Passo 7

Reunindo os resultados, a integral original vale
2\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr) =2\Bigl[(\sin(1)+\cos(1)-1)-(\sin(2)+\cos(2)-\cos(1))\Bigr]
=2\bigl(\sin(1)-\sin(2)+2\cos(1)-\cos(2)-1\bigr).

Resposta

2\bigl(\sin(1)-\sin(2)+2\cos(1)-\cos(2)-1\bigr).

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