Questão 1

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Para acessar o laboratório, Oliver precisa resolver a integral:
\int_{0}^{\frac{1}{10 \sqrt{2}}} \frac{320}{\pi \sqrt{1-100 x^{2}}} d x
A resposta desta integral tem relação com os campos magnéticos produzidos no Laboratório de eletromagnestismo. Resolva a questão e conseguirará acessar o laboratório.
Resposta:
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{1}{10\sqrt{2}}} \frac{320}{\pi\sqrt{1-100x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{320}{\pi\sqrt{1-100x^{2}}}.
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\dfrac{1}{10\sqrt{2}} (superior).
  • Precisamos encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Observação útil para simplificar: dentro da raiz aparece 1-100x^{2}. Isso sugere fazer uma substituição para transformar 100x^{2} em algo do tipo u^{2}. Vamos definir a substituição
u = 10x.
Aqui u é uma nova variável adimensional — é só uma mudança de variável para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Calculemos a diferença diferencial e os novos limites:
  • Derivando u=10x obtemos du = 10\,dx, portanto
dx = \frac{du}{10}.
  • Quando x=0, temos u=10\cdot 0 = 0.
  • Quando x=\dfrac{1}{10\sqrt{2}}, temos
u = 10\cdot \frac{1}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Agora substituímos na integral original. O fator constante \dfrac{320}{\pi} sai da integral, e a raiz fica \sqrt{1-u^{2}}. Em forma exibida:
\int_{0}^{\frac{1}{10\sqrt{2}}} \frac{320}{\pi\sqrt{1-100x^{2}}}\,dx = \frac{320}{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\frac{du}{10}.

Passo 4

Simplificando o fator constante:
\frac{320}{\pi}\cdot\frac{1}{10} = \frac{32}{\pi},
logo a integral vira
\frac{32}{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Agora precisamos usar a primitiva conhecida: a função cuja derivada é \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} é a função arco-seno. Mais precisamente, para |u|<1,
\frac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Explicando isso de forma breve: a derivada do seno é cosseno, e ao inverter a relação entre seno e arco-seno chegamos a essa identidade; é uma primitiva padrão que aparece muito em integrais com \sqrt{1-u^{2}}.

Passo 5

Usando a primitiva \arcsin(u), avaliamos a integral definida:
\frac{32}{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac{32}{\pi}\left[\arcsin(u)\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{32}{\pi}\left(\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \arcsin(0)\right).

Passo 6

Avalie os arcosenos:
  • \arcsin(0)=0.
  • \arcsin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}, porque \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto o valor da integral fica
\frac{32}{\pi}\left(\frac{\pi}{4}-0\right) = \frac{32}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}.

Resposta

\;8

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