Questão 1
Ainda não respondida
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Para acessar o laboratório, Oliver precisa resolver a integral:
A resposta desta integral tem relação com os campos magnéticos produzidos no Laboratório de eletromagnestismo. Resolva a questão e conseguirará acessar o laboratório.
Resposta:
Escape Room: Os corredor dos laboratórios
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Precisamos encontrar o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Observação útil para simplificar: dentro da raiz aparece
. Isso sugere fazer uma substituição para transformar
em algo do tipo
. Vamos definir a substituição
Aqui
é uma nova variável adimensional — é só uma mudança de variável para simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Calculemos a diferença diferencial e os novos limites:
- Derivando
obtemos , portanto
- Quando
, temos . - Quando
, temos
Agora substituímos na integral original. O fator constante
sai da integral, e a raiz fica
. Em forma exibida:
Passo 4
Simplificando o fator constante:
logo a integral vira
Agora precisamos usar a primitiva conhecida: a função cuja derivada é
é a função arco-seno. Mais precisamente, para
,
Explicando isso de forma breve: a derivada do seno é cosseno, e ao inverter a relação entre seno e arco-seno chegamos a essa identidade; é uma primitiva padrão que aparece muito em integrais com
.
Passo 5
Usando a primitiva
, avaliamos a integral definida:
Passo 6
Avalie os arcosenos:
-
. -
, porque .
Portanto o valor da integral fica