Questão 2 | Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).

NaF é um sal com estrutura de sal de cozinha. Para dissolver um mol de NaF em íons de \mathrm{Na}^{+}e \mathrm{F}^{-}são necessários 910 kJ de energia. Quanto é a soma dos raios dos dois íons?
Escolha uma opção:
◯ 263 pm
◯ 232 pm
◯ 287 pm
◯ 328 pm

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede-se a soma dos raios dos íons \mathrm{Na}^+ e \mathrm{F}^-. Essa soma é, na estrutura tipo sal de cozinha (estrutura NaCl), igual à distância entre catião e ânion no cristal, que chamarei de r_0.
  • Informação dada: energia necessária para separar 1 mol de \mathrm{NaF} em íons \mathrm{Na}^+ e \mathrm{F}^- é 910\\ \mathrm{kJ} por mol. Essa energia é a magnitude da energia reticular (lattice energy) do cristal; vou usar |U|=910\\ \mathrm{kJ/mol}=9,10\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.
  • Outras constantes/valores que usarei (valores padrão):
    • Constante de Avogadro: N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
    • Carga elementar: e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Constante eletrostática (no formato k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}): k=8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}.
    • Produto k e^2 (útil): k e^{2}\approx2,30708\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
    • Madelung (constante adimensional) para rede tipo NaCl: M\approx1,747565.
  • Observação importante: a expressão que relaciona energia reticular e r_0 é a equação de Born–Landé, que contém também um fator repulsivo dependente do expoente de Born n. Esse expoente não foi dado no enunciado, mas para sais iônicos típicos (álcalinos + haletos) n costuma estar entre 7 e 9. Mais adiante vou mostrar como o resultado depende de n e escolher o valor plausível para comparar com as alternatives.

Passo 2

Apresentando a fórmula (Born–Landé) e explicando cada termo.
A equação de Born–Landé para a energia reticular (por mol de pares iônicos) é
U = -\,\dfrac{N_A\,M\,z_+ z_-\,e^{2}}{4\pi\varepsilon_0\,r_0}\left(1-\dfrac{1}{n}\right).
Explicação dos símbolos:
  • U: energia reticular (aqui tomo o valor com sinal negativo; usarei sua magnitude |U|).
  • N_A: constante de Avogadro.
  • M: constante de Madelung (depende da geometria; para NaCl é 1,747565).
  • z_+ e z_-: cargas dos íons em unidades de e. Para \mathrm{Na}^+ e \mathrm{F}^- temos z_+=+1 e z_-=-1, então z_+ z_-= -1 e |z_+ z_-|=1.
  • e: carga elementar.
  • 4\pi\varepsilon_0 aparece dentro de k=1/(4\pi\varepsilon_0).
  • r_0: distância íon-a-íon (soma dos raios iônicos), que é o que queremos.
  • n: expoente de Born (caracteriza a repulsão de curto alcance). O fator \left(1-\dfrac{1}{n}\right) corrige a energia coulombiana pura pela repulsão.
Isolando r_0 em módulo (usando |U| para a magnitude):
r_0 = \dfrac{N_A\,M\,e^{2}}{4\pi\varepsilon_0\,|U|}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{N_A\,M\,k\,e^{2}}{|U|}\left(1-\dfrac{1}{n}\right).

Passo 3

Calcular o termo Coulombiano comum N_A M k e^{2} (faço as contas passo a passo, sem pular etapas).
  • Primeiro calculo k e^{2}:
k e^{2}= (8{,}98755179\times10^{9})\cdot(1{,}602176634\times10^{-19})^{2}.
O quadrado de e é
e^{2}=(1{,}602176634\times10^{-19})^{2}\approx2{,}566969\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
Multiplicando por k:
k e^{2}\approx8{,}98755179\times10^{9}\times2{,}566969\times10^{-38} \approx2{,}30708\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Agora multiplico por N_A e por M:
N_A\,k e^{2}\approx(6{,}022\times10^{23})\times(2{,}30708\times10^{-28}) \approx1{,}38935\times10^{-4}\\ \mathrm{J\cdot m\; mol^{-1}}.
N_A\,M\,k e^{2}\approx1{,}38935\times10^{-4}\times1{,}747565 \approx2{,}4289\times10^{-4}\\ \mathrm{J\cdot m\; mol^{-1}}.
Portanto o numerador (antes do fator (1-1/n)) vale aproximadamente 2{,}4289\times10^{-4}\\ \mathrm{J\cdot m\; mol^{-1}}.

Passo 4

Calcular r_0 em dois níveis de aproximação para ver sensibilidade ao expoente n.
  • Caso A: desprezando a repulsão de Born (isto é, n\to\infty e \,1-\dfrac{1}{n}\to1). Então
r_0 \approx \dfrac{2{,}4289\times10^{-4}}{9{,}10\times10^{5}}\\ \mathrm{m} = \dfrac{2{,}4289}{9{,}10}\times10^{-9}\\ \mathrm{m} \approx2{,}667\times10^{-10}\\ \mathrm{m} =266{,}7\\ \mathrm{pm}.
Esse valor está próximo da alternativa 263\\ \mathrm{pm}.
  • Caso B: incluindo o fator de Born. Para sais como \mathrm{NaF} um valor típico de n está entre 7 e 9. Vou calcular com n=9 (valor comumente usado em exercícios) e mostrar o efeito:
1-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}\approx0{,}8888889.
Então
r_0 \approx \dfrac{2{,}4289\times10^{-4}\times0{,}8888889}{9{,}10\times10^{5}} \approx\dfrac{2{,}1581\times10^{-4}}{9{,}10\times10^{5}} \approx2{,}372\times10^{-10}\\ \mathrm{m} =237{,}2\\ \mathrm{pm}.
Esse valor fica próximo da alternativa 232\\ \mathrm{pm}. Se, em vez de n=9, usar n=8 (também razoável), obtém-se:
1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}=0{,}875\quad\Rightarrow\quad r_0\approx233{,}5\\ \mathrm{pm},
ainda mais próximo de 232\\ \mathrm{pm}.

Passo 5

Interpretação e escolha da alternativa.
  • A estimativa que inclui a correção de Born (fator \,1-\dfrac{1}{n}\,) é a formulação física correta para energia reticular real. Como o expoente n para compostos iônicos monovalentes costuma estar na faixa 7 9, os valores de r_0 razoáveis ficam entre \approx233\\ \mathrm{pm} (para n=8) e \approx237\\ \mathrm{pm} (para n=9).
  • Das alternativas oferecidas ( 263, 232, 287, 328\\ \mathrm{pm}), a que melhor corresponde ao cálculo físico (incluindo a correção de Born) é 232\\ \mathrm{pm} — é a alternativa mais próxima do intervalo real calculado e reflete que a repulsão de Born reduz a estimativa obtida pela pura lei de Coulomb.

Resposta

232\\ \mathrm{pm}

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