Questão 1 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).

Lítio é um metal que cristaliza na estrutura bcc (body centered cubic), uma estrutura cúbica com átomos nos cantos e nos centros dos cubos. A densidade de lítio é 0,535 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} e a massa atômica é 6,941 \mathrm{u}\left(1 \mathrm{u}=1,66053892 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}\right). Quanto é o raio atômico de lítio?
Escolha uma opção:
151,8 \mathrm{~nm}
144,1 \mathrm{~nm}
213,8 \mathrm{pm}
213,8 \mathrm{~nm}
144,1 \mathrm{pm}
151,8 \mathrm{pm}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o raio atômico do lítio na estrutura cúbica de corpo centrado (bcc).
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado):
  • densidade: \rho = 0,535\\ \mathrm{g/cm^{3}};
  • massa atômica: 6,941\\ \mathrm{u} (isso equivale a M = 6,941\\ \mathrm{g/mol}, pois 1\\ \mathrm{u} corresponde a 1\\ \mathrm{g/mol} na escala molar);
  • estrutura cristalina: bcc (body centered cubic).
O que vamos precisar determinar: o raio atômico r (em unidades convenientes, comparar com as opções).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática):
  • Em uma rede cristalina cúbica com parâmetro de rede a (aresta do cubo), o volume da célula unitária é a^{3}.
  • A densidade macroscópica \rho relaciona massa por célula unitária com volume da célula:
\rho = \frac{n\,M}{N_{A}\,a^{3}},
onde:
  • n é o número efetivo de átomos por célula unitária (para bcc, n=2: oito cantos com contribuição 8\times\frac{1}{8}=1 mais um átomo no centro = 2 átomos);
  • M é a massa molar (em \mathrm{g/mol});
  • N_{A} é o número de Avogadro (usar \,N_{A}=6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}});
  • a tem de estar em cm se \rho está em \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Relação geométrica entre a e o raio atômico r para bcc: os átomos tocam ao longo da diagonal do cubo. A diagonal do cubo tem comprimento a\sqrt{3} e nela cabem 4 raios (átomo de canto + átomo do centro + átomo de canto oposto), logo
a\sqrt{3}=4r \qquad\Rightarrow\qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{4}.

Passo 3

Isolando a a partir da expressão da densidade:
a^{3}=\frac{n\,M}{\rho\,N_{A}} \qquad\Rightarrow\qquad a=\sqrt[3]{\frac{n\,M}{\rho\,N_{A}}}.
Agora substituímos os valores (todos escritos em TeX):
n=2,\quad M=6,941\\ \mathrm{g/mol},\quad \rho=0,535\\ \mathrm{g/cm^{3}},\quad N_{A}=6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Calcular o numerador e o denominador:
\text{numerador} = n\,M = 2\times6,941 = 13,882\\ \mathrm{g/mol},
\text{denominador} = \rho\,N_{A} = 0,535\times(6,02214076\times10^{23}) = 3,2218453066\times10^{23}\\ .
Portanto
a^{3}=\frac{13,882}{3,2218453066\times10^{23}} \approx 4,307806\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Agora extraímos a raiz cúbica:
a=\sqrt[3]{4,307806\times10^{-23}}\\ \mathrm{cm} \approx 3,5040\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Converter a para picômetros: 1\\ \mathrm{cm}=10^{10}\\ \mathrm{pm}, então
a \approx 3,5040\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\times10^{10}\\ \frac{\mathrm{pm}}{\mathrm{cm}} =350,40\\ \mathrm{pm}.

Passo 4

Calcular o raio atômico r usando r=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}. Primeiro o fator geométrico:
\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0,4330127.
Então
r = 350,40\\ \mathrm{pm}\times0,4330127 \approx 151,6\\ \mathrm{pm}.
Arredondando de acordo com algarismos significativos e comparando com as opções fornecidas, o valor correspondente é aproximadamente 151,8\\ \mathrm{pm} (opção disponível mais próxima).

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida: o valor obtido está na escala de \sim10^{2}\\ \mathrm{pm}, coerente com raios atômicos típicos; portanto a opção correta é a que indica aproximadamente 1{,}52\times10^{2}\\ \mathrm{pm}.

Resposta

151,8\\ \mathrm{pm}

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