Questão 4
Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
Calcule o fluxo do campo vetorial
sobre a superfície
com orientação para baixo dada pela equação
.
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas ◯
b.
◯
C. 2 ◯
d.
◯
e.
◯
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas ◯
b.
C. 2 ◯
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
sobre a superfície
orientada para baixo, dada por
com domínio dos parâmetros
Informações relevantes listadas:
- A superfície é o gráfico da função
com . - A orientação é para baixo (vetor normal apontando no sentido negativo de
). - O campo é
. - Queremos calcular o fluxo
.
Passo 2
Vamos parametrizar a superfície pelo próprio par de coordenadas
do domínio: definimos a parametrização
com
variando em
.
Explicação didática: parametrizar significa descrever cada ponto da superfície por dois parâmetros (aqui e
). Para gráficos
essa parametrização é a mais direta.
Explicação didática: parametrizar significa descrever cada ponto da superfície por dois parâmetros (aqui
Passo 3
Calculemos os vetores tangentes
e
(derivadas parciais da parametrização):
Aqui
e
são as derivadas parciais de
. Vamos calcular
e
:
Passo 4
Explico por que usamos o produto vetorial: o vetor
é um vetor normal à superfície cuja magnitude é a área infinitesimal
associada; portanto
Esse vetor aponta para cima (com componente
positiva). Como a orientação pedida é para baixo, devemos usar o negativo:
Substituindo
e
obtidos:
Comentário amigo: pensar assim é óbvio — se o normal natural aponta para cima, trocar o sinal faz com que ele aponte para baixo, que é o pedido.
Passo 5
O fluxo é a integral dupla sobre
do produto escalar
. Primeiro escrevemos o campo no ponto da superfície substituindo
:
Agora fazemos o produto escalar com
:
Calcule componente a componente:
Observe que os termos com
se cancelam — ficou bem simples!]
Passo 6
Agora montamos a integral dupla sobre o domínio
:
Explicação prática: podemos integrar primeiro em
porque o integrando separa em
vezes
, e os limites de
não dependem de
.
Passo 7
Integramos em
:
Portanto
Agora integramos em
:
Passo 8
Avalie os cossenos conhecidos:
e
. Substituindo:
Pequena torcida: deu uma expressão bonita e simples — ótimo resultado!