Questão 4

Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(x,-1, z) sobre a superfície S com orientação para baixo dada pela equação z=x \cos (y), \quad 0 \leq x \leq 1, \frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{3}.
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas ◯
b. \frac{\sqrt{2}-1}{4}
C. 2 ◯
d. \quad \frac{4 \pi}{3}
e. \quad \frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = (x,-1,z) sobre a superfície S orientada para baixo, dada por z = x\cos(y) com domínio dos parâmetros
0 \le x \le 1,\qquad \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{\pi}{3}.
Informações relevantes listadas:
  • A superfície é o gráfico da função z = g(x,y) com g(x,y)=x\cos(y).
  • A orientação é para baixo (vetor normal apontando no sentido negativo de z).
  • O campo é \vec{F}(x,y,z) = (x,-1,z).
  • Queremos calcular o fluxo \iint_{S} \vec{F}\cdot \mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Vamos parametrizar a superfície pelo próprio par de coordenadas (x,y) do domínio: definimos a parametrização
\mathbf{r}(x,y) = (x,\; y,\; g(x,y)) = \bigl(x,\; y,\; x\cos(y)\bigr),
com (x,y) variando em D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\ \frac{\pi}{4}\le y\le\frac{\pi}{3}\}.
Explicação didática: parametrizar significa descrever cada ponto da superfície por dois parâmetros (aqui x e y). Para gráficos z=g(x,y) essa parametrização é a mais direta.

Passo 3

Calculemos os vetores tangentes \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y (derivadas parciais da parametrização):
\mathbf{r}_x = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} = (1,\;0,\;g_x),\qquad \mathbf{r}_y = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = (0,\;1,\;g_y).
Aqui g_x e g_y são as derivadas parciais de g. Vamos calcular g_x e g_y:
g(x,y)=x\cos(y)\Rightarrow g_x=\cos(y),\qquad g_y=-x\sin(y).

Passo 4

Explico por que usamos o produto vetorial: o vetor \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y é um vetor normal à superfície cuja magnitude é a área infinitesimal dS associada; portanto
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,\; -g_y,\; 1).
Esse vetor aponta para cima (com componente z positiva). Como a orientação pedida é para baixo, devemos usar o negativo:
\mathbf{n}\,dS = -\bigl(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr)\,dA = (g_x,\; g_y,\; -1)\,dA.
Substituindo g_x e g_y obtidos:
\mathbf{n}\,dS = \bigl(\cos(y),\; -x\sin(y),\; -1\bigr)\,dA.
Comentário amigo: pensar assim é óbvio — se o normal natural aponta para cima, trocar o sinal faz com que ele aponte para baixo, que é o pedido.

Passo 5

O fluxo é a integral dupla sobre D do produto escalar \vec{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS). Primeiro escrevemos o campo no ponto da superfície substituindo z=g(x,y):
\vec{F}(x,y,g(x,y)) = \bigl(x,\; -1,\; x\cos(y)\bigr).
Agora fazemos o produto escalar com \mathbf{n}\,dS:
\vec{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS) = \bigl(x,\; -1,\; x\cos(y)\bigr)\cdot\bigl(\cos(y),\; -x\sin(y),\; -1\bigr)\,dA.
Calcule componente a componente:
\begin{aligned} \vec{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS) &= x\cdot\cos(y) + (-1)\cdot\bigl(-x\sin(y)\bigr) + x\cos(y)\cdot(-1)\,dA\\[4pt] &= x\cos(y) + x\sin(y) - x\cos(y)\,dA\\[4pt] &= x\sin(y)\,dA. \end{aligned}
Observe que os termos com x\cos(y) se cancelam — ficou bem simples!]

Passo 6

Agora montamos a integral dupla sobre o domínio D:
\text{Fluxo}=\iint_{D} x\sin(y)\,dA = \int_{y=\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{x=0}^{1} x\sin(y)\,dx\,dy.
Explicação prática: podemos integrar primeiro em x porque o integrando separa em x vezes \sin(y), e os limites de x não dependem de y.

Passo 7

Integramos em x:
\int_{x=0}^{1} x\sin(y)\,dx = \sin(y)\int_{0}^{1} x\,dx = \sin(y)\cdot\frac{1}{2}.
Portanto
\text{Fluxo} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(y)\,dy.
Agora integramos em y:
\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(y)\,dy = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(y)\bigr]_{y=\frac{\pi}{4}}^{y=\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{3})+\cos(\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 8

Avalie os cossenos conhecidos: \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2} e \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo:
\text{Fluxo} = \frac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{4}.
Pequena torcida: deu uma expressão bonita e simples — ótimo resultado!

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{4}

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