Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função integranda é
e o intervalo de integração é
. Note que em
temos
e
não está definido (tende a
), então há uma singularidade no extremo esquerdo do intervalo. Por isso a integral é imprópria e devemos tratá‑la como um limite.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como limite à medida que nos aproximamos de
pela direita. Escrevemos
Essa definição é necessária porque a integranda é não limitada perto de
; avaliamos a integral num intervalo que evita a singularidade e depois fazemos o limite.
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
para simplificar a integral. Quando
temos
e quando
temos
. Chamando
, obtemos
então
Passo 4
Calculamos a primitiva de
por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula,
Portanto uma primitiva é
.
Passo 5
Usamos a primitiva para avaliar a integral definida de
a
:
Como
, isso dá
Passo 6
Agora fazemos o limite quando
:
Sabemos que
. Resta mostrar que
. Uma maneira direta é escrever
com
; então
, e
. Portanto
. Assim o limite da expressão é
Passo 7
Concluímos que o limite existe e é finito, logo a integral imprópria converge e o seu valor é
.
Resposta
Convergente,