Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
\int_{1}^{2} \ln (x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{1}^{2} \ln(x-1)\,dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função integranda é \ln(x-1) e o intervalo de integração é [1,2]. Note que em x=1 temos x-1=0 e \ln 0 não está definido (tende a -\infty), então há uma singularidade no extremo esquerdo do intervalo. Por isso a integral é imprópria e devemos tratá‑la como um limite.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como limite à medida que nos aproximamos de 1 pela direita. Escrevemos
\int_{1}^{2} \ln(x-1)\,dx = \lim_{a\to 1^+}\int_{a}^{2} \ln(x-1)\,dx.
Essa definição é necessária porque a integranda é não limitada perto de x=1; avaliamos a integral num intervalo que evita a singularidade e depois fazemos o limite.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=x-1 para simplificar a integral. Quando x=a temos u=a-1 e quando x=2 temos u=1. Chamando \varepsilon=a-1>0, obtemos
\int_{a}^{2} \ln(x-1)\,dx = \int_{\varepsilon}^{1} \ln u\,du,
então
\int_{1}^{2} \ln(x-1)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{1} \ln u\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de \ln u por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int f\,dg = fg - \int g\,df.
Escolhemos f=\ln u e dg=du. Então df=\frac{1}{u}\,du e g=u. Aplicando a fórmula,
\int \ln u\,du = u\ln u - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\ln u - \int 1\,du = u\ln u - u + C.
Portanto uma primitiva é F(u)=u\ln u - u.

Passo 5

Usamos a primitiva para avaliar a integral definida de \varepsilon a 1:
\int_{\varepsilon}^{1} \ln u\,du = \bigl[u\ln u - u\bigr]_{\varepsilon}^{1} = (1\cdot\ln 1 - 1) - (\varepsilon\ln\varepsilon - \varepsilon).
Como \ln 1=0, isso dá
\int_{\varepsilon}^{1} \ln u\,du = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon.

Passo 6

Agora fazemos o limite quando \varepsilon\to 0^+:
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\bigl(-1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon\bigr).
Sabemos que \lim_{\varepsilon\to 0^+}\varepsilon=0. Resta mostrar que \lim_{\varepsilon\to 0^+}\varepsilon\ln\varepsilon=0. Uma maneira direta é escrever \varepsilon=e^{-t} com t\to+\infty; então \varepsilon\ln\varepsilon = e^{-t}(-t) = -t e^{-t}, e \lim_{t\to\infty} t e^{-t}=0. Portanto \lim_{\varepsilon\to 0^+}\varepsilon\ln\varepsilon=0. Assim o limite da expressão é
-1 - 0 + 0 = -1.

Passo 7

Concluímos que o limite existe e é finito, logo a integral imprópria converge e o seu valor é -1.

Resposta

Convergente, -1

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