Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Usei a imagem enviada que mostra exatamente essa integral. As informações relevantes são: o integrando é \dfrac{\sin x}{1+x^{2}} e os limites de integração são -\infty a +\infty.

Passo 2

Vou lembrar dois conceitos importantes que vamos usar:
  • Integral impropria em limites infinitos: a integral \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx é entendida como o limite (quando existir) da integral sobre intervalos que se expandem para \pm\infty. Uma forma comum é escrever como soma de duas integrais improprias
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0} f(x)\,dx + \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} f(x)\,dx,
cada limite devendo existir (finitos).
  • Convergência absoluta: se \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx é finita, dizemos que f é absolutamente integrável; isto implica que \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx converge (a convergência absoluta é uma condição suficiente para convergeça). Uma ferramenta útil é o teste da comparação: se |f(x)|\le g(x) para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx é finita, então \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx é finita.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação usando que |\sin x|\le 1 para todo x. Assim
\left|\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right|\le \frac{1}{1+x^{2}}.
Calculamos a integral da função dominadora \dfrac{1}{1+x^{2}}:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{A\to\infty}\Big[\arctan x\Big]_{-A}^{A} = \lim_{A\to\infty}\big(\arctan A - \arctan(-A)\big).
Como \lim_{A\to\infty}\arctan A=\tfrac{\pi}{2} e \arctan(-A)=-\arctan A, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{2}-\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)=\pi,
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da comparação, como \left|\dfrac{\sin x}{1+x^{2}}\right|\le\dfrac{1}{1+x^{2}} e \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx=\pi<\infty, segue que
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right|\,dx <\infty.
Portanto a integral original é absolutamente convergente, e em particular é convergente.

Passo 5

Agora calculamos o valor. Observe que a função f(x)=\dfrac{\sin x}{1+x^{2}} é ímpar: para todo x,
f(-x)=\frac{\sin(-x)}{1+(-x)^{2}}=\frac{-\sin x}{1+x^{2}}=-f(x).
Para qualquer A>0 a integral sobre o intervalo simétrico [-A,A] de uma função ímpar contínua é zero:
\int_{-A}^{A}\frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx = 0.
Como a integral imprópria converge (vimos que é absolutamente convergente), podemos tomar o limite A\to\infty e obter
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{A\to\infty} 0 = 0.

Resposta

0

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