Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}} d x
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Usei a imagem enviada que mostra exatamente essa integral. As informações relevantes são: o integrando é \dfrac{\sin x}{1+x^{2}} e os limites de integração são -\infty a +\infty.
Passo 2
Vou lembrar dois conceitos importantes que vamos usar:
Integral impropria em limites infinitos: a integral \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx é entendida como o limite (quando existir) da integral sobre intervalos que se expandem para \pm\infty. Uma forma comum é escrever como soma de duas integrais improprias
Convergência absoluta: se \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx é finita, dizemos que f é absolutamente integrável; isto implica que \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx converge (a convergência absoluta é uma condição suficiente para convergeça). Uma ferramenta útil é o teste da comparação: se |f(x)|\le g(x) para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx é finita, então \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx é finita.
Passo 3
Aplicamos o teste da comparação usando que |\sin x|\le 1 para todo x. Assim
Pelo teste da comparação, como \left|\dfrac{\sin x}{1+x^{2}}\right|\le\dfrac{1}{1+x^{2}} e \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx=\pi<\infty, segue que