Questão:
Uma onda estacionária particular numa corda é representada por
. Encontre,
(a) distância entre os nós ( 0,5 ponto)
(b) comprimento de onda ( 0,5 ponto)
(c) frequência (0,5 ponto)
(d) velocidade da onda. (0,5 ponto)
(a) distância entre os nós ( 0,5 ponto)
(b) comprimento de onda ( 0,5 ponto)
(c) frequência (0,5 ponto)
(d) velocidade da onda. (0,5 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a forma da onda estacionária e pede quatro coisas. Precisamos identificar claramente o que é dado e o que é pedido.\n
Dados do enunciado: a função da onda é \n
Perguntas do enunciado:\n
(a) distância entre os nós;\n
(b) comprimento de onda;\n
(c) frequência;\n
(d) velocidade da onda.\n
Também anotei explicitamente os parâmetros que aparecem na expressão: a amplitude prefatorial é , o coeficiente multiplicando
é
e o coeficiente multiplicando
é
. Esses números vão nos servir para achar
e
na resolução.
Dados do enunciado: a função da onda é
Perguntas do enunciado:\n
(a) distância entre os nós;\n
(b) comprimento de onda;\n
(c) frequência;\n
(d) velocidade da onda.\n
Também anotei explicitamente os parâmetros que aparecem na expressão: a amplitude prefatorial é
Passo 2
Entendendo a forma padrão e extraindo
e
.\n
Uma onda estacionária nesta forma é escrita como , onde:\n
Uma onda estacionária nesta forma é escrita como
-
é a amplitude (medida em metros);\n -
é o número de onda (em radianos por metro), relacionado ao comprimento de onda;\n -
é a pulsação ou frequência angular (em radianos por segundo), relacionada à frequência.\n
Comparando com a expressão dada, identificamos:\n
e \n
Aquitem unidade e tem unidade .
Passo 3
Como achar a distância entre nós (parte a).\n
Os nós de uma onda estacionária ocorrem quando o fator espacial é zero, ou seja quando .\n
A condição ocorre para
com
inteiro (
).\n
Desse modo as posições dos nós são \n
A distância entre dois nós consecutivos (por exemplo entre e
) é\n
Os nós de uma onda estacionária ocorrem quando o fator espacial é zero, ou seja quando
A condição
Desse modo as posições dos nós são
A distância entre dois nós consecutivos (por exemplo entre
Substituindo
obtemos\n
Calculando numericamente com
:\n
Arredondando comumente:
Passo 4
Como achar o comprimento de onda
(parte b).\n
A relação entre o número de onda e o comprimento de onda
é\n
A relação entre o número de onda
Isolando
temos\n
Substituindo
:\n
Numericamente:\n
ou seja
\n
Observação prática: note que a distância entre nós que encontramos no passo anterior é exatamente , pois
. Isso faz sentido físico: nós adjacentes em uma onda estacionária estão separados por metade do comprimento de onda.
Observação prática: note que a distância entre nós que encontramos no passo anterior é exatamente
Passo 5
Como achar a frequência
(parte c).\n
A relação entre a pulsação e a frequência
é\n
A relação entre a pulsação
Isolando
temos\n
Substituindo
:\n
Numericamente, usando
:\n
Arredondando:
Passo 6
Como achar a velocidade da onda
(parte d).\n
Existem duas relações úteis e equivalentes para a velocidade de onda:\n
Existem duas relações úteis e equivalentes para a velocidade de onda:\n
-
(velocidade = frequência vezes comprimento de onda);\n -
(velocidade = pulsação dividida pelo número de onda).\n
Usando a formacom os valores já extraídos é bem direto:\n
Se preferir conferir com
:\n
o que confirma o resultado exato
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)