3^{\text {a }} Questão:

Uma onda estacionária particular numa corda é representada por y=0,15(\sin 5 x \cos 300 t) \mathrm{m}. Encontre,
(a) distância entre os nós ( 0,5 ponto)
(b) comprimento de onda ( 0,5 ponto)
(c) frequência (0,5 ponto)
(d) velocidade da onda. (0,5 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a forma da onda estacionária e pede quatro coisas. Precisamos identificar claramente o que é dado e o que é pedido.\n
Dados do enunciado: a função da onda é \;y=0,15\big(\sin 5x\cos 300t\big)\\ \mathrm{m}.\n
Perguntas do enunciado:\n
(a) distância entre os nós;\n
(b) comprimento de onda;\n
(c) frequência;\n
(d) velocidade da onda.\n
Também anotei explicitamente os parâmetros que aparecem na expressão: a amplitude prefatorial é 0,15\\ \mathrm{m}, o coeficiente multiplicando x é 5 e o coeficiente multiplicando t é 300. Esses números vão nos servir para achar k e \omega na resolução.

Passo 2

Entendendo a forma padrão e extraindo k e \omega.\n
Uma onda estacionária nesta forma é escrita como \;y=A\sin(kx)\cos(\omega t)\;, onde:\n
  • \;A\; é a amplitude (medida em metros);\n
  • \;k\; é o número de onda (em radianos por metro), relacionado ao comprimento de onda;\n
  • \;\omega\; é a pulsação ou frequência angular (em radianos por segundo), relacionada à frequência.\n
    Comparando com a expressão dada, identificamos:\n
    \;k=5 e \;\omega=300.\n
    Aqui k tem unidade \mathrm{rad/m} e \omega tem unidade \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Como achar a distância entre nós (parte a).\n
Os nós de uma onda estacionária ocorrem quando o fator espacial é zero, ou seja quando \sin(kx)=0.\n
A condição \sin(kx)=0 ocorre para \;kx=n\pi\; com n inteiro ( n=0,\pm1,\pm2,\dots ).\n
Desse modo as posições dos nós são \;x_n=\dfrac{n\pi}{k}.\n
A distância entre dois nós consecutivos (por exemplo entre n e n+1) é\n
\Delta x = x_{n+1}-x_n=\frac{(n+1)\pi}{k}-\frac{n\pi}{k}=\frac{\pi}{k}.\n
Substituindo k=5 obtemos\n
\Delta x=\frac{\pi}{5}.\n
Calculando numericamente com \pi\approx3,1416:\n
\Delta x\approx\frac{3,1416}{5}=0,62832\\ \mathrm{m}.\n
Arredondando comumente: \Delta x\approx0,628\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Como achar o comprimento de onda \lambda (parte b).\n
A relação entre o número de onda k e o comprimento de onda \lambda é\n
k=\frac{2\pi}{\lambda}.\n
Isolando \lambda temos\n
\lambda=\frac{2\pi}{k}.\n
Substituindo k=5:\n
\lambda=\frac{2\pi}{5}.\n
Numericamente:\n
\lambda\approx\frac{2\cdot3,1416}{5}=1,25664\\ \mathrm{m},\n
ou seja \lambda\approx1,257\\ \mathrm{m}.\n
Observação prática: note que a distância entre nós que encontramos no passo anterior é exatamente \lambda/2, pois \pi/k=(2\pi/k)/2=\lambda/2. Isso faz sentido físico: nós adjacentes em uma onda estacionária estão separados por metade do comprimento de onda.

Passo 5

Como achar a frequência f (parte c).\n
A relação entre a pulsação \omega e a frequência f é\n
\omega=2\pi f.\n
Isolando f temos\n
f=\frac{\omega}{2\pi}.\n
Substituindo \omega=300:\n
f=\frac{300}{2\pi}=\frac{150}{\pi}.\n
Numericamente, usando \pi\approx3,1416:\n
f\approx\frac{150}{3,1416}=47,746\\ \mathrm{Hz}.\n
Arredondando: f\approx47,75\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Como achar a velocidade da onda v (parte d).\n
Existem duas relações úteis e equivalentes para a velocidade de onda:\n
  1. v=f\lambda (velocidade = frequência vezes comprimento de onda);\n
  2. v=\dfrac{\omega}{k} (velocidade = pulsação dividida pelo número de onda).\n
    Usando a forma \;v=\dfrac{\omega}{k}\; com os valores já extraídos é bem direto:\n
v=\frac{\omega}{k}=\frac{300}{5}=60\\ \mathrm{m/s}.\n
Se preferir conferir com v=f\lambda:\n
v\approx47,746\cdot 1,25664\approx60\\ \mathrm{m/s},\n
o que confirma o resultado exato v=60\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \dfrac{\pi}{5}\approx0,628\\ \mathrm{m}\n
(b) \dfrac{2\pi}{5}\approx1,257\\ \mathrm{m}\n
(c) \dfrac{150}{\pi}\approx47,75\\ \mathrm{Hz}\n
(d) 60\\ \mathrm{m/s}

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