Questão 1
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Calcule a integral trocando a ordem de integração
Resposta:
Vale 1,00 ponto(s).
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é uma integral dupla
e o enunciado quer que a gente troque a ordem de integração antes de resolver. Isso é conteúdo de Cálculo II (integrais múltiplas). Para resolver, vamos precisar de três coisas:
- Entender a região de integração no plano
. - Aplicar o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração.
- Calcular a integral resultante, usando uma substituição no passo final.
Passo 2
A gente tem as desigualdades
Isso quer dizer que a região
no plano é
Para inverter a ordem, é mais fácil descrever
projetando em
.
- O menor
possível vem de com , ou seja . - O maior
é 2.
E, para cadafixo em , vemos que , e sempre .
Logo, em termos deprimeiro, vai de até .
Em símbolos, a integral invertida fica
Passo 3
Agora integremos primeiro em
. Note que
não depende de
, então
Isso usa o fato de que, se a função não depende da variável de integração, basta multiplicar pelo comprimento do intervalo.
Passo 4
Agora só resta calcular
A técnica é substituição. Seja
Quando
,
. Quando
,
.
Assim a integral vira
Assim a integral vira
Para
usamos a regra de potência:
Logo
Resposta
O valor da integral original é