Questão 1

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Calcule a integral trocando a ordem de integração
integral0^4 integralraizy^2 raizx^3+1 d x d y
Resposta: square

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma integral dupla
integral0^4integralraizy^2raizx^3+1,dx,dy
e o enunciado quer que a gente troque a ordem de integração antes de resolver. Isso é conteúdo de Cálculo II (integrais múltiplas). Para resolver, vamos precisar de três coisas:
  1. Entender a região de integração no plano (x,y).
  2. Aplicar o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração.
  3. Calcular a integral resultante, usando uma substituição no passo final.

Passo 2

A gente tem as desigualdades
0<= y<= 4, raizy<= x<= 2
Isso quer dizer que a região D no plano é
D=(x,y)mid 0<= y<= 4,;raizy<= x<= 2
Para inverter a ordem, é mais fácil descrever D projetando em x.
  • O menor x possível vem de raizy com y>=0, ou seja x>=0.
  • O maior x é 2.
    E, para cada x fixo em [0,2], vemos que raizy<= xiff y<= x^2, e sempre y>=0.
    Logo, em termos de x primeiro, y vai de 0 até x^2.
    Em símbolos, a integral invertida fica
integralx=0^2integraly=0^x^2raizx^3+1,dy,dx

Passo 3

Agora integremos primeiro em y. Note que raizx^3+1 não depende de y, então
integral0^x^2raizx^3+1,dy =raizx^3+1;l[yr]0^x^2 =raizx^3+1;(x^2-0) =x^2raizx^3+1
Isso usa o fato de que, se a função não depende da variável de integração, basta multiplicar pelo comprimento do intervalo.

Passo 4

Agora só resta calcular
integral0^2x^2raizx^3+1,dx
A técnica é substituição. Seja
t = x^3 + 1 Longrightarrow dt = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = dt3
Quando x=0, t=1. Quando x=2, t=2^3+1=9.
Assim a integral vira
integral0^2x^2raizx^3+1,dx =integralt=1^9raizt,dt3 =13integral1^9t^1/2,dt
Para integral t^1/2dt usamos a regra de potência:
integral t^1/2dt = t^3/2tfrac32 = 23t^3/2
Logo
13integral1^9t^1/2dt =13cdot23l[t^3/2r]1^9 =29l(9^3/2-1^3/2r) =29(27-1) =529

Resposta

O valor da integral original é 529

Exercícios relacionados