Questão 3
Ainda näo respondida
Vale 2,00 ponto(s).
Para a função g(x, y)=\cos (x y), qual é a derivada parcial de segunda ordem \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} ?
a. -x \sin (x y)
b. -x^{2} \cos (x y)
c. -y^{2} \cos (x y)
d. x^{2} \sin (x y)
e. -\sin (x y)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=\cos(xy) e pede a derivada parcial de segunda ordem em relação a y, ou seja, \frac{\partial^2g}{\partial y^2}. Vamos usar a regra da cadeia para diferenciar duas vezes em y, tratando x como constante.

Passo 2

Calculamos primeiro \frac{\partial g}{\partial y}. Tomando u=xy, a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\,u'. Como u'=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x, temos
\frac{\partial g}{\partial y} =-\sin(xy)\cdot x =-x\sin(xy).

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial g}{\partial y}=-x\sin(xy) em relação a y. Novamente aplia-se a regra da cadeia: a derivada de \sin(xy) em y é \cos(xy)\cdot x. Logo
\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} =-x\bigl[\cos(xy)\cdot x\bigr] =-x^2\cos(xy).

Passo 4

Comparando com as alternativas, o resultado -x^2\cos(xy) corresponde à letra (b).

Resposta

(b)

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