Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}-1, t\right\rangle, \quad t=1

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula \mathbf{r}(t)=\langle t^{2}-1,\;t\rangle
e pede a velocidade \mathbf{v}(t), a aceleração \mathbf{a}(t) e a velocidade escalar \|\mathbf{v}(t)\|. Depois, queremos esboçar a trajetória no plano xy e desenhar \mathbf{v} e \mathbf{a} para t=1. O conteúdo é derivada de funções vetoriais e relação paramétrica-cartesiana.

Passo 2

Para achar a velocidade e a aceleração derivamos componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle \tfrac{d}{dt}(t^{2}-1),\;\tfrac{d}{dt}(t)\bigr\rangle =\langle 2t,\;1\rangle
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) =\bigl\langle \tfrac{d}{dt}(2t),\;\tfrac{d}{dt}(1)\bigr\rangle =\langle 2,\;0\rangle

Passo 3

A velocidade escalar é o comprimento de \mathbf{v}(t):
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(2t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{4t^{2}+1}

Passo 4

Em t=1 temos
\mathbf{v}(1)=\langle 2\cdot1,\;1\rangle=\langle 2,\;1\rangle, \quad \mathbf{a}(1)=\langle 2,\;0\rangle, \quad \|\mathbf{v}(1)\|=\sqrt{4\cdot1^{2}+1}=\sqrt{5}.
Para esboçar a trajetória eliminamos t: como x=t^{2}-1 e y=t, temos
x=y^{2}-1,
ou seja, uma parábola com vértice em (-1,0) voltada para a direita. No ponto correspondente a t=1, isto é (0,1), desenhamos a seta de \mathbf{v}(1)=\langle2,1\rangle apontando para nordeste inclinada de \arctan(1/2), e a seta de \mathbf{a}(1)=\langle2,0\rangle apontando horizontalmente para a direita.

Resposta

\mathbf{v}(t)=\langle2t,\,1\rangle \mathbf{a}(t)=\langle2,\,0\rangle \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{4t^{2}+1}
Em t=1: \mathbf{v}(1)=\langle2,\,1\rangle, \mathbf{a}(1)=\langle2,\,0\rangle, \|\mathbf{v}(1)\|=\sqrt{5}.

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