Questão 6

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Considere uma elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo y.
Sabe-se que o comprimento do eixo maior é 4 e o comprimento do eixo menor é 2 .
Determine as coordenadas dos focos.
◯ a. (\sqrt{5}, 0) e (-\sqrt{5}, 0)
◯ b. (0, \sqrt{3}) e (0,-\sqrt{3})
◯ c. (0,1) e (0,-1)
◯ d. (\sqrt{3}, 0) e (-\sqrt{3}, 0)
◯ e. (0,2) \mathrm{e}(0,-2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as coordenadas dos focos de uma elipse com as seguintes informações:
  • Centro na origem.
  • Eixo maior sobre o eixo y.
  • Comprimento do eixo maior: 4.
  • Comprimento do eixo menor: 2.
    A pergunta final é: quais são as coordenadas dos focos (escolher a alternativa correta)?

Passo 2

Primeiro converter os comprimentos dos eixos em semi-eixos (metade dos comprimentos). Essas são informações diretas do enunciado e serão usadas:
  • O semi-eixo maior é a=\dfrac{4}{2}=2.
  • O semi-eixo menor é b=\dfrac{2}{2}=1.
    Observação importante: como o eixo maior está sobre o eixo y, o semi-eixo a corresponde à direção y (ou seja, os vértices maiores ficam em (0,\pm a)).

Passo 3

Explicar onde ficam os focos e o que é a constante c.
  • Para uma elipse com eixo maior sobre o eixo y, os focos têm coordenadas do tipo (0,\pm c), onde c>0 é a distância do centro até cada foco.
  • A definição geométrica útil da elipse é: para todo ponto da elipse, a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é constante e igual a 2a. Aqui 2a é justamente o comprimento do eixo maior (já dado).
    Vou usar essa definição para relacionar a, b e c.

Passo 4

Derivar a relação entre a, b e c.
  • Considere o ponto do eixo menor: (b,0). Esse ponto pertence à elipse (é o extremo do eixo menor).
  • Distância de (b,0) a cada foco (0,\pm c) é \sqrt{(b-0)^2+(0\mp c)^2}=\sqrt{b^2+c^2}.
  • A soma das duas distâncias é 2\sqrt{b^2+c^2}. Pela definição da elipse, essa soma é igual a 2a. Logo:
2\sqrt{b^2+c^2}=2a.
  • Dividindo por 2 e elevando ao quadrado:
\sqrt{b^2+c^2}=a \quad\Rightarrow\quad b^2+c^2=a^2.
  • Isolando c^2 obtemos a relação clássica:
c^2=a^2-b^2.

Passo 5

Calcular c com os valores numéricos encontrados:
  • Já temos a=2 e b=1, então
c^2=a^2-b^2=2^2-1^2=4-1=3.
  • Portanto
c=\sqrt{3}.

Passo 6

Escrever as coordenadas dos focos usando o resultado c=\sqrt{3}:
  • Como o eixo maior está sobre y, os focos são
(0,\sqrt{3})\quad\text{e}\quad(0,-\sqrt{3}).
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa b.

Resposta

b. (0,\sqrt{3}) e (0,-\sqrt{3})

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