Questão 6
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
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Considere uma elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo
.
Sabe-se que o comprimento do eixo maior é 4 e o comprimento do eixo menor é 2 .
Determine as coordenadas dos focos.
◯ a.
e
◯ b.
e
◯ c.
e
◯ d.
e
◯ e.
Vale 1,00 ponto(s).
Sabe-se que o comprimento do eixo maior é 4 e o comprimento do eixo menor é 2 .
Determine as coordenadas dos focos.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as coordenadas dos focos de uma elipse com as seguintes informações:
- Centro na origem.
- Eixo maior sobre o eixo
. - Comprimento do eixo maior:
. - Comprimento do eixo menor:
.
A pergunta final é: quais são as coordenadas dos focos (escolher a alternativa correta)?
Passo 2
Primeiro converter os comprimentos dos eixos em semi-eixos (metade dos comprimentos). Essas são informações diretas do enunciado e serão usadas:
- O semi-eixo maior é
. - O semi-eixo menor é
.
Observação importante: como o eixo maior está sobre o eixo, o semi-eixo corresponde à direção (ou seja, os vértices maiores ficam em ).
Passo 3
Explicar onde ficam os focos e o que é a constante
.
- Para uma elipse com eixo maior sobre o eixo
, os focos têm coordenadas do tipo , onde é a distância do centro até cada foco. - A definição geométrica útil da elipse é: para todo ponto da elipse, a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é constante e igual a
. Aqui é justamente o comprimento do eixo maior (já dado).
Vou usar essa definição para relacionar, e .
Passo 4
Derivar a relação entre
,
e
.
- Considere o ponto do eixo menor:
. Esse ponto pertence à elipse (é o extremo do eixo menor). - Distância de
a cada foco é . - A soma das duas distâncias é
. Pela definição da elipse, essa soma é igual a . Logo:
- Dividindo por
e elevando ao quadrado:
- Isolando
obtemos a relação clássica:
Passo 5
Calcular
com os valores numéricos encontrados:
- Já temos
e , então
- Portanto
Passo 6
Escrever as coordenadas dos focos usando o resultado
:
- Como o eixo maior está sobre
, os focos são
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa b.
Resposta
b.
e