Questão 1
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Uma partícula executa um movimento harmônico simples com período T. No instante t=0 ela encontra-se a meio caminho entre o ponto de equilíbrio e uma das extremidades de seu movimento, movendo-se em direção à extremidade. O próximo instante em que ela se encontrará no mesmo lugar é:
Escolha uma opção:
a. t=T / 2
b. nenhuma das outras opções
c. t=T
d. t=T / 3
e. t=T / 4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando e quais conhecimentos precisamos usar. A questão envolve movimento harmônico simples (MHS), que é um tipo de movimento oscilatório periódico. Precisamos saber como a posição da partícula varia com o tempo para descobrir quando ela voltará ao mesmo lugar.

Passo 2

No movimento harmônico simples, a posição da partícula em função do tempo é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
onde:
  • $ A $ é a amplitude (a distância máxima da partícula em relação ao ponto de equilíbrio),
  • $ \omega $ é a frequência angular ($ \omega = \frac{2\pi}{T} $),
  • $ \phi $ é a fase inicial (a posição inicial da partícula no tempo $ t = 0 $).

Passo 3

Segundo a questão, no instante $ t = 0 $, a partícula está meio caminho entre o ponto de equilíbrio e uma das extremidades, ou seja, sua posição inicial é $ x(0) = \frac{A}{2} $. Além disso, a partícula está se movendo em direção à extremidade, o que indica que sua velocidade inicial é positiva.

Passo 4

Vamos usar a condição inicial para encontrar a fase $ \phi $. Sabemos que:
phi
Dividindo ambos os lados por $ A $:
x(0) = A cos(phi) = A2
Isso significa que:
A
Como a partícula está se movendo em direção à extremidade positiva, escolhemos $ \phi = \frac{\pi}{3} $.

Passo 5

Agora, a equação da posição fica:
x(t) = A cos(omega t + pi3)
Queremos encontrar o próximo instante $ t $ em que a partícula estará novamente em $ x = \frac{A}{2} $. Então:
t
Isso ocorre quando:
x = A2
onde $ k $ é um número inteiro.

Passo 6

Resolvendo a primeira equação para $ t $:
t
omega t + pi3 = pi3 + 2kpi
omega t = 2kpi
Para $ k = 1 $:
t = 2kpiomega = kT
Resolvendo a segunda equação:
k = 1
t = T
omega t + pi3 = 5pi3 + 2kpi
O menor valor de $ t $ após $ t = 0 $ é $ t = \frac{2T}{3} $.

Resposta

b. nenhuma das outras opções

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