Questão 4

Ainda não respondida
Vale 2,00 ponto(s).
Um trocador de calor é utilizado para resfriar uma vazão \mathbf{m} de ar com glicerina.
O ar entra no trocador de calor a uma temperatura T1 e sai a uma temperatura T2. A pressão do ar, tanto na entrada quanto na saída, é igual 100 kPa . A glicerina entra no trocador de calor a uma temperatura T3 e pressão atmosférica, e a máxima temperatura de saída da glicerina deve ser T4.
Assuma:
\mathrm{m}=5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}
\mathrm{T} 1=510^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{T} 2=95^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{T} 3=20^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{T} 4=50^{\circ} \mathrm{C}
Qual a mínima vazão volumétrica de glicerina em litros por minutos?
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Qual o mínimo diâmetro da tubulação (em cm) para que velocidade do ar na saída do trocador de calor seja de no máximo 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
\square

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas. Dados:
m_{\text{ar}}=5\\ \mathrm{kg/s}
T_1=510^\circ\mathrm{C},\qquad T_2=95^\circ\mathrm{C}
a pressão do ar na entrada e saída é 100\\ \mathrm{kPa}.
T_3=20^\circ\mathrm{C},\qquad T_4=50^\circ\mathrm{C}
O fluido de resfriamento é glicerina. Perguntas:
  1. Qual a mínima vazão volumétrica de glicerina em \mathrm{L/min}?
  2. Qual o mínimo diâmetro da tubulação (em cm) para que a velocidade do ar na saída do trocador seja, no máximo, 10\\ \mathrm{m/s}?

Passo 2

Estratégia física (sem calcular ainda): energia removida do ar por unidade de tempo (taxa de calor \dot{Q}) deve ser absorvida pela glicerina. Assim, balanço de energia (assumindo calor sensível e cp constantes):
\dot{Q}=m_{\text{ar}}\,c_{p,\text{ar}}\,(T_1-T_2)=m_{\text{gly}}\;c_{p,\text{gly}}\;(T_4-T_3).
Aqui c_p é o calor específico a pressão constante, medido em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; m são vazões mássicas em \mathrm{kg/s}. Depois, vazão volumétrica da glicerina \dot{V}_{\text{gly}}=m_{\text{gly}}/\rho_{\text{gly}}. Para o diâmetro usamos a relação entre vazão volumétrica do ar na saída e velocidade:
\dot{V}_{\text{ar,out}}=\frac{m_{\text{ar}}}{\rho_{\text{ar,out}}},\qquad A=\frac{\dot{V}_{\text{ar,out}}}{v_{\max}},\qquad d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.

Passo 3

Escolha de propriedades (valores típicos razoáveis usados em provas; se o enunciado desse outros valores, usar aqueles):
c_{p,\text{ar}}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{ar})
c_{p,\text{gly}}=2{,}43\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{glicerina})
\rho_{\text{gly}}=1260\\ \mathrm{kg/m^3}\quad(\text{glicerina a ~20--50}^\circ\mathrm{C})
Constante dos gases para o ar:
R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Obs.: explique rápido o porquê desses números — c_p do ar é cerca de 1{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} à temperatura moderada; glicerina tem c_p maior ( \sim2{,}4\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) e é densa ( \sim1260\\ \mathrm{kg/m^3}). Esses valores permitem estimar a vazão mínima.

Passo 4

Calcule a potência térmica retirada do ar:
diferença de temperatura do ar:
\Delta T_{\text{ar}}=T_1-T_2=510-95=415\\ \mathrm{K}.
Portanto
\dot{Q}=m_{\text{ar}}\,c_{p,\text{ar}}\,\Delta T_{\text{ar}} =5\cdot 1{,}005\cdot 415\\ \mathrm{kJ/s}.
Faça a conta:
5\cdot 1{,}005\cdot 415=2085{,}375\\ \mathrm{kJ/s}=2085{,}375\\ \mathrm{kW}.
Ou seja, \dot{Q}\approx2{,}085\times10^{3}\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Determine a vazão mássica de glicerina necessária usando o balanço:
m_{\text{gly}}=\frac{\dot{Q}}{c_{p,\text{gly}}\,(T_4-T_3)}.
Aqui \Delta T_{\text{gly}}=T_4-T_3=50-20=30\\ \mathrm{K} e c_{p,\text{gly}}=2{,}43\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Substituindo (note que \dot{Q} está em \mathrm{kJ/s}):
m_{\text{gly}}=\frac{2085{,}375}{2{,}43\cdot 30}.
Calcule o denominador:
2{,}43\cdot 30=72{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
m_{\text{gly}}=\frac{2085{,}375}{72{,}9}\approx 28{,}61\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Converta a vazão mássica de glicerina para volumétrica:
\dot{V}_{\text{gly}}=\frac{m_{\text{gly}}}{\rho_{\text{gly}}}=\frac{28{,}61}{1260}\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcule:
\dot{V}_{\text{gly}}\approx 0{,}0227\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{L/min}:
1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}=60000\\ \mathrm{L/min}.
Então
\dot{V}_{\text{gly}}=0{,}0227\cdot 1000\\ \mathrm{L/s}=22{,}7\\ \mathrm{L/s},
22{,}7\\ \mathrm{L/s}\times 60 =1362\\ \mathrm{L/min}.

Passo 7

Agora a segunda parte: calcular o diâmetro mínimo para que a velocidade do ar na saída seja \leq 10\\ \mathrm{m/s}. Primeiro calculamos a densidade do ar na saída usando a equação dos gases ideais:
temperatura de saída em Kelvin:
T_2=95^\circ\mathrm{C}=95+273{,}15=368{,}15\\ \mathrm{K}.
Usando p=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa},
\rho_{\text{ar,out}}=\frac{p}{R_{\text{ar}}\,T_2}=\frac{100000}{287\cdot 368{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Calcule o denominador:
287\cdot 368{,}15\approx 105616\\ (\text{aprox.}).
Logo
\rho_{\text{ar,out}}\approx\frac{100000}{105616}\approx 0{,}9469\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 8

Com a densidade, a vazão volumétrica do ar na saída é
\dot{V}_{\text{ar,out}}=\frac{m_{\text{ar}}}{\rho_{\text{ar,out}}}=\frac{5}{0{,}9469}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 5{,}279\\ \mathrm{m^3/s}.
Para que a velocidade seja no máximo v_{\max}=10\\ \mathrm{m/s}, a área mínima é
A_{\min}=\frac{\dot{V}_{\text{ar,out}}}{v_{\max}}=\frac{5{,}279}{10}=0{,}5279\\ \mathrm{m^2}.
O diâmetro circular correspondente é
d=\sqrt{\frac{4A_{\min}}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}5279}{\pi}}.
Calcule:
\frac{4\cdot 0{,}5279}{\pi}\approx 0{,}6722,\qquad d\approx\sqrt{0{,}6722}\approx 0{,}820\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
d\approx 82{,}0\\ \mathrm{cm}.

Resposta

1362\\ \mathrm{L/min}
82{,}0\\ \mathrm{cm}

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