Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo:
Região limitada por y=x^{3}, no intervalo 0 \leq x \leq 1.
Região limitada por y=x^{3} e o eixo x, no intervalo -1 \leq x \leq 1.
Região delimitada por y=1+x^{2} e o eixo x, no intervalo -1 \leq x \leq 1.
Superfície delimitada pela parábola y=6-x-x^{2} e o eixo x.
Região limitada por y=x, no intervalo 0 \leq x \leq 4.
Região limitada por y=x+1 e y=-x^{2}+2 x+3.
Região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x.
Região entre y=x^{2}-3 x e y=-x^{2}+3 x.
Superfície limitada por y=x e y=x^{2}.
Região limitada por y=x^{2}-2 x e y=-x^{2}+4.
Passo 1
Você me deu uma lista de regiões para eu esboçar mentalmente e calcular suas áreas. Vou listar aqui, claramente, cada item que devo resolver (sem resolver ainda), para que você saiba o que vem a seguir:
Região limitada por y=x^{3}, no intervalo 0\le x\le1.
Região limitada por y=x^{3} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
Região delimitada por y=1+x^{2} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
Superfície delimitada pela parábola y=6-x-x^{2} e o eixo x.
Região limitada por y=x, no intervalo 0\le x\le4.
Região limitada por y=x+1 e y=-x^{2}+2x+3.
Região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x.
Região entre y=x^{2}-3x e y=-x^{2}+3x.
Superfície limitada por y=x e y=x^{2}.
Região limitada por y=x^{2}-2x e y=-x^{2}+4.
Informações dadas relevantes (repito pra ficar cristalino): as funções e os intervalos/interseções estão acima; quando pedir “região limitada por uma curva e o eixo x” eu vou entender como a área entre a curva e o eixo x sobre o intervalo indicado (área positiva, ou seja, integral do valor absoluto da função se necessário). Quando pedir “região entre duas curvas” vou tomar a integral da função que está por cima menos a que está por baixo, entre os pontos de interseção. Agora sim começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Regra geral e ideia didática (pega leve, eu explico devagar): para calcular área de uma região plana limitada por curvas usamos integração em x. Existem dois casos básicos:
Área entre uma curva y=f(x) e o eixo x num intervalo [a,b] (assumindo que a curva não cruza o eixo várias vezes sem aviso): a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.
Aqui f(x) é a altura da curva em cada x; o valor absoluto garante área positiva quando f fica negativa.
Área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) entre x=a e x=b onde f(x)\ge g(x) no intervalo: a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.
Sempre primeiro identificamos os limites a,b (normalmente pontos de interseção) e qual curva é a de cima.
Técnica de integração que usarei: integrar polinômios termo a termo usando as fórmulas básicas:
Vou detalhar cada integral passo a passo e fazer a aritmética exata (sem calculadora), explicando sinais, simetrias e observações que ajudam a acelerar na prova.
Passo 3
Item 1: região limitada por y=x^{3}, no intervalo 0\le x\le1.
Observação do gráfico: para 0\le x\le1 a função x^{3} é não negativa e cresce de 0 a 1. A região é o “pedaço” sob a curva e acima do eixo x do x=0 ao x=1.
Área (sem valor absoluto porque x^{3}\ge0 aqui):
\text{Área}=\int_{0}^{1} x^{3}\,dx.
Integração: \displaystyle \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1:
Item 2: região limitada por y=x^{3} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
Observação do gráfico: x^{3} é ímpar; de -1 a 0 a função é negativa (embaixo do eixo), de 0 a 1 é positiva (acima do eixo). A área pedida entre a curva e o eixo x é a soma das áreas positivas (ou seja, integral do módulo).
Usando simetria: como x^{3} é ímpar, |x^{3}| é par, e a área simétrica em [-1,1] é duas vezes a área em [0,1].
Fatorando: (x+3)(x-2)=0 então as raízes são x=-3 e x=2.
Como o coeficiente de x^{2} é negativo (parábola com concavidade para baixo), entre as raízes a função é positiva; fora delas é negativa. A região limitada pelo gráfico e o eixo x é entre x=-3 e x=2.
Avaliando de -1 a 2:
Valor em 2: -\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4 = -\frac{8}{3}+2+4 = -\frac{8}{3}+6 = \frac{10}{3}.
Valor em -1: -\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 = \frac{2+3-12}{6}=-\frac{7}{6}.