Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo:
Região limitada por y=x^{3}, no intervalo 0 \leq x \leq 1.
Região limitada por y=x^{3} e o eixo x, no intervalo -1 \leq x \leq 1.
Região delimitada por y=1+x^{2} e o eixo x, no intervalo -1 \leq x \leq 1.
Superfície delimitada pela parábola y=6-x-x^{2} e o eixo x.
Região limitada por y=x, no intervalo 0 \leq x \leq 4.
Região limitada por y=x+1 e y=-x^{2}+2 x+3.
Região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x.
Região entre y=x^{2}-3 x e y=-x^{2}+3 x.
Superfície limitada por y=x e y=x^{2}.
Região limitada por y=x^{2}-2 x e y=-x^{2}+4.

Passo 1

Você me deu uma lista de regiões para eu esboçar mentalmente e calcular suas áreas. Vou listar aqui, claramente, cada item que devo resolver (sem resolver ainda), para que você saiba o que vem a seguir:
  1. Região limitada por y=x^{3}, no intervalo 0\le x\le1.
  2. Região limitada por y=x^{3} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
  3. Região delimitada por y=1+x^{2} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
  4. Superfície delimitada pela parábola y=6-x-x^{2} e o eixo x.
  5. Região limitada por y=x, no intervalo 0\le x\le4.
  6. Região limitada por y=x+1 e y=-x^{2}+2x+3.
  7. Região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x.
  8. Região entre y=x^{2}-3x e y=-x^{2}+3x.
  9. Superfície limitada por y=x e y=x^{2}.
  10. Região limitada por y=x^{2}-2x e y=-x^{2}+4.
Informações dadas relevantes (repito pra ficar cristalino): as funções e os intervalos/interseções estão acima; quando pedir “região limitada por uma curva e o eixo x” eu vou entender como a área entre a curva e o eixo x sobre o intervalo indicado (área positiva, ou seja, integral do valor absoluto da função se necessário). Quando pedir “região entre duas curvas” vou tomar a integral da função que está por cima menos a que está por baixo, entre os pontos de interseção. Agora sim começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Regra geral e ideia didática (pega leve, eu explico devagar): para calcular área de uma região plana limitada por curvas usamos integração em x. Existem dois casos básicos:
  • Área entre uma curva y=f(x) e o eixo x num intervalo [a,b] (assumindo que a curva não cruza o eixo várias vezes sem aviso): a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.Á
Aqui f(x) é a altura da curva em cada x; o valor absoluto garante área positiva quando f fica negativa.
  • Área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) entre x=a e x=b onde f(x)\ge g(x) no intervalo: a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
Sempre primeiro identificamos os limites a,b (normalmente pontos de interseção) e qual curva é a de cima.
Técnica de integração que usarei: integrar polinômios termo a termo usando as fórmulas básicas:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1),\qquad \int c\,dx=cx.
Vou detalhar cada integral passo a passo e fazer a aritmética exata (sem calculadora), explicando sinais, simetrias e observações que ajudam a acelerar na prova.

Passo 3

Item 1: região limitada por y=x^{3}, no intervalo 0\le x\le1.
  • Observação do gráfico: para 0\le x\le1 a função x^{3} é não negativa e cresce de 0 a 1. A região é o “pedaço” sob a curva e acima do eixo x do x=0 ao x=1.
  • Área (sem valor absoluto porque x^{3}\ge0 aqui):
\text{Área}=\int_{0}^{1} x^{3}\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1:
\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{1}{4}.

Passo 4

Item 2: região limitada por y=x^{3} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
  • Observação do gráfico: x^{3} é ímpar; de -1 a 0 a função é negativa (embaixo do eixo), de 0 a 1 é positiva (acima do eixo). A área pedida entre a curva e o eixo x é a soma das áreas positivas (ou seja, integral do módulo).
  • Usando simetria: como x^{3} é ímpar, |x^{3}| é par, e a área simétrica em [-1,1] é duas vezes a área em [0,1].
  • Cálculo:
\text{Área}=\int_{-1}^{1} |x^{3}|\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.Á
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{1}{2}.

Passo 5

Item 3: região delimitada por y=1+x^{2} e o eixo x, no intervalo -1\le x\le1.
  • Observação do gráfico: 1+x^{2}\ge1 para todo x, portanto é sempre positiva. A região é o trapézio curvo de x=-1 a x=1 entre a curva e o eixo.
  • Área:
\text{Área}=\int_{-1}^{1} (1+x^{2})\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (1+x^{2})\,dx = x + \frac{x^{3}}{3}.
  • Avaliando de -1 a 1:
\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{-1}^{1}=\left(1+\frac{1}{3}\right)-\left(-1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3}.
  • Observação rápida: também dá para usar simetria (função par) e fazer 2\int_{0}^{1}(1+x^{2})dx.
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{8}{3}.

Passo 6

Item 4: superfície delimitada pela parábola y=6-x-x^{2} e o eixo x.
  • Primeiro achamos onde a parábola cruza o eixo x: resolver 6-x-x^{2}=0.
-x^{2}-x+6=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+x-6=0.
Fatorando: (x+3)(x-2)=0 então as raízes são x=-3 e x=2.
  • Como o coeficiente de x^{2} é negativo (parábola com concavidade para baixo), entre as raízes a função é positiva; fora delas é negativa. A região limitada pelo gráfico e o eixo x é entre x=-3 e x=2.
  • Área:
\text{Área}=\int_{-3}^{2} (6-x-x^{2})\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (6-x-x^{2})\,dx = 6x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}.
  • Avaliando:
\left(6x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{-3}^{2}.
Calcule passo a passo:
  • Em x=2: 6\cdot2 - \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3} = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3}=\frac{22}{3}.
  • Em x=-3: 6(-3) - \frac{(-3)^{2}}{2} - \frac{(-3)^{3}}{3} = -18 - \frac{9}{2} - \frac{-27}{3} = -18 - \frac{9}{2} + 9. Converter em frações: -18+9=-9, então -9 - \frac{9}{2} = -\frac{18}{2}-\frac{9}{2}=-\frac{27}{2}.
  • Subtraindo: \frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right)=\frac{22}{3}+\frac{27}{2}=\frac{44+81}{6}=\frac{125}{6}.
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{125}{6}.

Passo 7

Item 5: região limitada por y=x, no intervalo 0\le x\le4.
  • A curva é a reta y=x, positiva no intervalo 0 a 4. A região pedida é a área entre a reta e o eixo x de 0 a 4.
  • Área:
\text{Área}=\int_{0}^{4} x\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}. Avaliando:
\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-0=\frac{16}{2}=8.
  • Conclusão: área = 8.

Passo 8

Item 6: região limitada por y=x+1 e y=-x^{2}+2x+3.
  • Primeiro encontramos as interseções: resolvemos
x+1 = -x^{2}+2x+3.
Passo a passo: levar tudo para um lado:
0 = -x^{2}+2x+3 - (x+1) = -x^{2}+2x+3 - x -1 = -x^{2}+x+2.
Multiplicando por -1: x^{2}-x-2=0. Fatorando: (x-2)(x+1)=0, então interseções em x=-1 e x=2.
  • Quem está por cima no intervalo [-1,2]? Teste em x=0: y_{1}=x+1=1, y_{2}=-0+0+3=3. Logo y=-x^{2}+2x+3 (a parábola) está acima da reta.
  • Área:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\Big((-x^{2}+2x+3)-(x+1)\Big)\,dx = \int_{-1}^{2}(-x^{2}+x+2)\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (-x^{2}+x+2)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x.
  • Avaliando de -1 a 2:
    Valor em 2: -\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4 = -\frac{8}{3}+2+4 = -\frac{8}{3}+6 = \frac{10}{3}.
    Valor em -1: -\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 = \frac{2+3-12}{6}=-\frac{7}{6}.
  • Subtraindo: \displaystyle \frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20+7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{9}{2}.

Passo 9

Item 7: região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x.
  • Interseções: resolver 2-x^{2} = -x. Organizando:
x^{2}-x-2=0.
Fatorando: (x-2)(x+1)=0. Então x=-1 e x=2.
  • Em x=0, y_{1}=2 e y_{2}=0, logo y=2-x^{2} está por cima no intervalo [-1,2].
  • Área:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\big((2-x^{2})-(-x)\big)\,dx = \int_{-1}^{2} (2 - x^{2} + x)\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (2 - x^{2} + x)\,dx = 2x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}.
  • Avaliando:
    Valor em 2: 2\cdot2 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} = 4 - \frac{8}{3} + 2 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}.
    Valor em -1: 2(-1) - \frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{(-1)^{2}}{2} = -2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2} = -2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{12-2-3}{6} = -\frac{7}{6}. (mesmo número que encontramos antes em cálculo parecido)
  • Subtraindo: \displaystyle \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{9}{2}.

Passo 10

Item 8: região entre y=x^{2}-3x e y=-x^{2}+3x.
  • Interseções: igualar x^{2}-3x = -x^{2}+3x. Isso dá
2x^{2}-6x=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x-3)=0,
portanto x=0 e x=3.
  • Quem é a curva de cima? Teste em x=1: y_{1}=1-3=-2, y_{2}=-1+3=2. Logo y=-x^{2}+3x é a de cima.
  • Área:
\text{Área}=\int_{0}^{3}\Big((-x^{2}+3x)-(x^{2}-3x)\Big)\,dx = \int_{0}^{3}(-2x^{2}+6x)\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (-2x^{2}+6x)\,dx = -\frac{2x^{3}}{3}+3x^{2}.
  • Avaliando de 0 a 3:
\left(-\frac{2x^{3}}{3}+3x^{2}\right)\Big|_{0}^{3}= \left(-\frac{2\cdot27}{3}+3\cdot9\right)-0 = \left(-18+27\right)=9.
  • Conclusão: área = 9.

Passo 11

Item 9: superfície limitada por y=x e y=x^{2}.
  • Interseções: igualar x = x^{2} \Rightarrow x^{2}-x=0\Rightarrow x(x-1)=0. Puntos x=0 e x=1.
  • Em 0<x<1, por exemplo x=1/2: y_{1}=x=0,5, y_{2}=x^{2}=0,25. Logo a reta y=x está por cima no intervalo 0\le x\le1.
  • Área:
\text{Área}=\int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (x - x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1:
\left(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
  • Conclusão: área = \displaystyle \frac{1}{6}.

Passo 12

Item 10: região limitada por y=x^{2}-2x e y=-x^{2}+4.
  • Interseções: resolver x^{2}-2x = -x^{2}+4. Reorganizando:
2x^{2}-2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x-2=0.
Fatorando: (x-2)(x+1)=0. Então x=-1 e x=2.
  • Quem está por cima no intervalo [-1,2]? Teste em x=0: y_{1}=0 para x^{2}-2x, e y_{2}=4 para -x^{2}+4. Logo y=-x^{2}+4 está acima.
  • Área:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\Big((-x^{2}+4)-(x^{2}-2x)\Big)\,dx = \int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx.Á
  • Integração: \displaystyle \int (-2x^{2}+2x+4)\,dx = -\frac{2x^{3}}{3} + x^{2} + 4x.
  • Avaliando de -1 a 2:
    Valor em 2: -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{20}{3}.
    Valor em -1: -\frac{2(-1)^{3}}{3} + (-1)^{2} + 4(-1) = -\frac{-2}{3} + 1 -4 = \frac{2}{3} -3 = -\frac{7}{3}.
  • Subtraindo: \displaystyle \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{27}{3}=9.
  • Conclusão: área = 9.

Resposta

\dfrac{1}{4}
\dfrac{1}{2}
\dfrac{8}{3}
\dfrac{125}{6}
8
\dfrac{9}{2}
\dfrac{9}{2}
9
\dfrac{1}{6}
9

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