Considere uma vazão de água m com pressão P1 e temperatura T1 passa por um processo em um volume de controle de modo que a pressão é reduzida a P2. Assuma P1 =5 MPa ; T1=700°C ; m=2 kg / s. Para responder os itens (a) e (b) assuma que esse volume de controle é uma restrição e que P2=0,6 MPa.
Qual a razão entre as áreas de saída e de entrada da restrição para que a variação de energia cinética através da restrição seja nula?

Passo 1

O que o problema pede: determinar a razão entre as áreas de saída e de entrada da restrição, isto é A_2/A_1, sob a condição de que a variação de energia cinética através da restrição seja nula.
Dados fornecidos:
P_1 = 5\\ \mathrm{MPa}.
T_1 = 700^\circ\mathrm{C}.
\dot{m}=2\\ \mathrm{kg/s} (fluxo mássico constante, não será necessária numericamente para a razão de áreas).
A restrição tem pressão de saída P_2 = 0{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Observação importante: o enunciado diz que o volume de controle é uma restrição (processo de estrangulamento / throttling). Irei usar essa informação na modelagem do processo adiabático sem trabalho (isenthalpico para o estrangulamento) e a aproximação de gás ideal para vapor d’água superaquecido para relacionar densidades. Não vou pedir mais dados; vou explicar e justificar cada passo.

Passo 2

Interpretação da condição “variação de energia cinética nula”.
A variação da energia cinética por unidade de tempo associada ao fluxo é proporcional a \dot{m}\left(\tfrac{1}{2}v_2^2-\tfrac{1}{2}v_1^2\right). Como \dot{m} é não nulo, a condição de variação de energia cinética nula implica
\frac{1}{2}v_2^2-\frac{1}{2}v_1^2 = 0
ou seja
v_2^2 = v_1^2.
Como velocidades são positivas no sentido do escoamento, isso implica
v_2 = v_1.

Passo 3

Equação da continuidade (conservação de massa para escoamento estacionário em tubo): para cada seção
\dot{m}=\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2,
onde \rho é a densidade, A a área da seção e v a velocidade média. Com v_2=v_1 temos, dividindo as duas expressões,
\frac{A_2}{A_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}.
Portanto a razão de áreas que procuramos é simplesmente a razão entre as densidades de entrada e saída.

Passo 4

Como obter \rho_1 e \rho_2?
Para uma restrição (throttling) idealizada e sem trocas de calor/ trabalho entre entrada e saída, a entalpia específica se conserva:
h_1 = h_2.
Para um gás ideal (aproximação razoável para vapor d’água superaquecido), a entalpia específica depende praticamente só da temperatura: h=h(T). Então h_1=h_2 implica T_1=T_2. Portanto, adotando a aproximação de gás ideal para vapor superaquecido, podemos tomar
T_2 = T_1.
(Se quiséssemos maior precisão o procedimento correto seria usar tabelas IAPWS/steam tables para achar \rho_2 em função de P_2 e h constante; aqui uso o gás ideal porque o enunciado não forneceu tabelas nem pede precisão realista além da modelagem.)

Passo 5

Usando a lei dos gases ideais para densidade:
\rho=\frac{p}{R\,T},
onde p é a pressão absoluta, T a temperatura absoluta e R a constante específica do vapor d’água. Tomamos
R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}} = 0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
Converter unidades:
P_1 = 5\\ \mathrm{MPa} = 5000\\ \mathrm{kPa}, \qquad P_2 = 0{,}6\\ \mathrm{MPa} = 600\\ \mathrm{kPa},
T_1 = 700^\circ\mathrm{C} = 973{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = T_1 = 973{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcule \rho_1 e \rho_2:
\rho_1=\frac{P_1}{R\,T_1}=\frac{5000}{0{,}4615\cdot 973{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3},
\rho_2=\frac{P_2}{R\,T_2}=\frac{600}{0{,}4615\cdot 973{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Como R e T são iguais nos dois casos, os denominadores cancelam ao formar a razão:
\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{5000}{600}=\frac{25}{3}\approx 8{,}333.

Passo 6

Conclusão: pela continuidade e pelas aproximações (throttling + gás ideal), a razão de áreas que anula a variação de energia cinética é
\frac{A_2}{A_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{25}{3}\approx 8{,}333.

Resposta

\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}333

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