Questão 3 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).

A velocidade de um elétron é medida como sendo 5,00 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma precisão de 0,003 \%. Qual é a incerteza mínima na determinação da posição deste elétron?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \Delta x=0,386 \mathrm{~mm}
\bigcirc b. \Delta x=3,86 \mathrm{~mm}
\bigcirc c. \Delta x=38,6 \mathrm{~mm}
\bigcirc d. \Delta x=386,0 \mathrm{~mm}
\bigcirc e. \Delta x=0,0386 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede a incerteza mínima na posição de um elétron quando sua velocidade foi medida como sendo 5,00\times10^{3}\,\mathrm{m/s} com precisão de 0,003\%. Dados relevantes que temos do enunciado:
  • velocidade medida: v=5,00\times10^{3}\,\mathrm{m/s};
  • precisão relativa na velocidade: 0,003\% (ou seja, essa é a incerteza relativa em v);
  • queremos a incerteza mínima em x, ou seja, \Delta x mínima compatível com a incerteza em v.
    Não foram fornecidos explicitamente valores de constantes físicas, então usarei os valores padrões:
  • massa do elétron: m_{e}=9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg};
  • constante reduzida de Planck: \hbar=1,055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}.

Passo 2

A ferramenta que usamos aqui é o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele diz que não se pode conhecer arbitrariamente bem simultaneamente a posição e o momento linear de uma partícula:
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui:
  • \Delta x é a incerteza na posição (o que queremos);
  • \Delta p é a incerteza no momento linear;
  • \hbar é a constante reduzida de Planck (já indiquei seu valor).
    Para uma partícula não relativística, o momento linear é p=mv. Como a velocidade dada 5,00\times10^{3}\,\mathrm{m/s} é muito menor que a velocidade da luz, podemos usar p=m_{e}v. A incerteza no momento devido à incerteza na velocidade é, aproximadamente, \Delta p \approx m_{e}\,\Delta v. Assim, a incerteza mínima na posição pode ser estimada (igualando a desigualdade) por
\Delta x_{\min} \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta p} = \frac{\hbar}{2\,m_{e}\,\Delta v}.
Vou calcular \Delta v a partir da precisão dada e então \Delta x_{\min}.

Passo 3

Converter a precisão percentual em incerteza absoluta da velocidade. A precisão 0,003\% é
0,003\%=\frac{0,003}{100}=3,0\times10^{-5}.
Logo a incerteza absoluta da velocidade é
\Delta v = v\times(3,0\times10^{-5}) = \left(5,00\times10^{3}\right)\times\left(3,0\times10^{-5}\right).
Calculemos:
\Delta v = 5,00\times10^{3}\times3,0\times10^{-5} = (5,00\times3,0)\times10^{3-5}=15,0\times10^{-2}=0,15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a incerteza no momento \Delta p usando \Delta p \approx m_{e}\,\Delta v:
\Delta p = \left(9,11\times10^{-31}\right)\times0,15.
Multiplicando os números:
9,11\times0,15 = 1,3665,
portanto
\Delta p = 1,3665\times10^{-31}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula para \Delta x_{\min}:
\Delta x_{\min} \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta p} = \frac{1,055\times10^{-34}}{2\times1,3665\times10^{-31}}.
Calcule o denominador:
2\times1,3665\times10^{-31}=2,733\times10^{-31}.
Agora a divisão:
\Delta x_{\min} = \frac{1,055\times10^{-34}}{2,733\times10^{-31}} = \frac{1,055}{2,733}\times10^{-3}.
\frac{1,055}{2,733}\approx0,3863,
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\Delta x_{\min}\approx0,3863\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3,863\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros ( 1\,\mathrm{m}=1000\,\mathrm{mm}):
\Delta x_{\min}\approx0,3863\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados), obtemos \Delta x_{\min}\approx0,386\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretando o resultado em relação às alternativas dadas: a alternativa (a) é \Delta x=0,386\\ \mathrm{mm}, que coincide com nosso cálculo. Portanto a alternativa correta é a (a).

Resposta

a. \Delta x=0,386\\ \mathrm{mm}

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