Questão 5 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).

Atenção às instruções:

  • adote \hbar=1,054 \times 10^{-34} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e \pi=3.1416 \mathrm{em} todos os cálculos.
  • Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais o ponto ( . ), assim, por exemplo, valor 3.45 \times 10^{-5}=3.45 E-5.
  • Não é necessário indicar unidades na sua resposta.
Em um experimento de dupla fenda, um elétron, com comprimento de onda \lambda=0.083 \mathrm{~m}, incide sobre um sistema composto por fendas com tamanho 3.7E-5 m. Suponha que o experimento tenha uma configuração na qual as fendas são paralelas ao eixo y, de tal forma que o ângulo \theta entre o eixo x e o momento do fóton é o parâmetro relevante para analisarmos a ocorrência de máximos e mínimos de interferência, segundo a Lei de Bragg ( 2 d \operatorname{seno}(\theta)=n \lambda ).
Determine a incerteza mínima no momento do elétron, admitindo que para detectar a posição do elétron você deva conhecer suas posição com uma incerteza menor ou igual a d / 2
\square
Considerando a configuração do sistema, podemos construir um triângulo retângulo com \vec{p} sendo a hipotenusa e \overrightarrow{p_{y}} o cateto oposto, de tal forma que \operatorname{sen}(\theta)=\left|\overrightarrow{p_{y}} / \vec{p}\right|, ou, no caso de ângulos pequenos \theta=\left|\overrightarrow{p_{y}} / \vec{p}\right|, determine a incerteza no ângulo \theta.
\square

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a incerteza mínima no momento do elétron, supondo que para detectá‑lo sua posição deva ser conhecida com incerteza menor ou igual a d/2. Os dados relevantes fornecidos são: \hbar=1.054\times10^{-34}, \pi=3.1416, comprimento de onda \lambda=0.083 e largura da fenda d=3.7\mathrm{E}{-5} (ou seja d=3.7\times10^{-5}).
  2. Considerando a configuração geométrica dada, usar \sin(\theta)=\bigl| \overrightarrow{p_{y}}/\vec{p}\bigr| e, para ângulos pequenos, \theta\approx\bigl|\overrightarrow{p_{y}}/\vec{p}\bigr|, determinar a incerteza no ângulo \theta.
As informações numéricas que vou usar explicitamente: d=3.7\times10^{-5} e \hbar=1.054\times10^{-34}. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): Princípio da incerteza de Heisenberg. Ele diz que não podemos conhecer simultaneamente posição e momento com precisão arbitrária; a forma usual é
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui \Delta x é a incerteza na posição (m), \Delta p é a incerteza no momento (kg·m/s) e \hbar é a constante reduzida dada. Para obter a incerteza mínima no momento, isolamos \Delta p:
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
No problema foi dito que para detectar a posição devemos conhecer com incerteza menor ou igual a d/2; então podemos tomar
\Delta x = \frac{d}{2}.

Passo 3

Calcular numericamente \Delta x:
\Delta x = \frac{d}{2} = \frac{3.7\times10^{-5}}{2} = 1.85\times10^{-5}.
Agora substituímos na fórmula de Heisenberg para obter \Delta p_{\min}:
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta x} = \frac{1.054\times10^{-34}}{2\cdot(1.85\times10^{-5})}.
Façamos as contas passo a passo: 2\cdot(1.85\times10^{-5}) = 3.70\times10^{-5}. Portanto
\Delta p_{\min} = \frac{1.054\times10^{-34}}{3.70\times10^{-5}}.
Dividindo os coeficientes e ajustando potências:
\Delta p_{\min}\approx \left(\frac{1.054}{3.70}\right)\times10^{-34+5} \approx 0.2848649\times10^{-29} \approx 2.85\times10^{-30}.
Então a incerteza mínima no momento é aproximadamente \Delta p_{\min}=2.85\times10^{-30}.

Passo 4

Agora precisamos da incerteza no ângulo \theta. Para isso é útil conhecer o momento total \vec{p} do elétron relativo ao seu comprimento de onda, usando a relação de de Broglie:
p = \frac{h}{\lambda},
onde h é a constante de Planck. Usamos h=2\pi\hbar. Calculamos h com os valores dados:
h = 2\pi\hbar = 2\cdot(3.1416)\cdot(1.054\times10^{-34}).
Calculemos o coeficiente: 2\cdot3.1416 = 6.2832. Então
h = 6.2832\times1.054\times10^{-34}\approx 6.6260\times10^{-34}.

Passo 5

Calcular o momento p:
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{6.6260\times10^{-34}}{0.083}.
Dividindo:
p \approx \frac{6.6260}{0.083}\times10^{-34} \approx 79.83\times10^{-34} = 7.983\times10^{-33}.
Arredondando convenientemente: p\approx 7.98\times10^{-33}.

Passo 6

Relação entre o ângulo e as componentes do momento: do enunciado temos
\sin(\theta)=\left|\frac{p_{y}}{p}\right|.
Para ângulos pequenos usamos a aproximação \sin(\theta)\approx\theta (em radianos), logo
\theta \approx \left|\frac{p_{y}}{p}\right|.
Quando queremos a incerteza no ângulo, para pequenas incertezas usamos a relação linearizada
\Delta\theta \approx \frac{\Delta p_{y}}{p}.
Aqui \Delta p_{y} é a incerteza na componente transversal do momento; como a incerteza imposta pela medição de posição é transversal (detectamos a qual fenda, i.e. posição em y), é razoável tomar \Delta p_{y}\approx\Delta p_{\min} que já calculamos.

Passo 7

Calcular numericamente \Delta\theta:
\Delta\theta \approx \frac{\Delta p_{\min}}{p} = \frac{2.85\times10^{-30}}{7.98\times10^{-33}}.
Dividindo coeficientes e ajustando potências:
\Delta\theta \approx \left(\frac{2.85}{7.98}\right)\times10^{-30+33} \approx 0.3567\times10^{3} \approx 3.57\times10^{2}.
Ou seja, numericamente \Delta\theta\approx 3.57\times10^{2} (radianos). Isso significa que a incerteza é enorme comparada a 1 radiano — é consequência do fato de que a exigência de localizar com precisão transversal grande (pequeno \Delta x) impõe uma grande incerteza no momento transversal, e aqui o momento total p é muito pequeno por causa do grande comprimento de onda dado.

Passo 8

Resumo didático-final: usamos o princípio da incerteza para transformar uma condição sobre posição ( \Delta x=d/2) em uma incerteza mínima de momento; depois relacionamos a incerteza transversal do momento com a incerteza angular via a aproximação para pequenos ângulos. Os passos foram aplicáveis diretamente com as fórmulas básicas:
\Delta p_{\min}=\frac{\hbar}{2\Delta x},\qquad p=\frac{h}{\lambda},\qquad \Delta\theta\approx\frac{\Delta p_{\min}}{p}.
Força aí — o número grande para \Delta\theta é um resultado físico: pedir muita precisão na posição (fenda estreita) causa enorme incerteza direcional.

Resposta

\Delta p_{\min}=2.85\times10^{-30}
\Delta\theta=3.57\times10^{2}

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