Questão 1

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Para avaliar a dureza esperada \mu do aço produzido sob um novo processo de têmpera foi selecionada uma amostra de 20 corpos de prova do aço, a qual produziu os seguintes resultados de dureza, em HRc:
36,4 35,7 37,2 36,5 34,9 35,2 36,3 35,8 36,6 36,9
35,4 35,8 33,2 35,6 32,7 38,4 33,6 36,1 37,0 34,9
Construir um I.C. de 95 \%.

Resposta:

média amostral = □
desvio padrão amostral = □
valor tabelado =
Intervalo de Confiança:
IC[ □ ; 95%] =[ □ ; □ ]□

36,31 □
35,10 □
\mu
35,20 □
36,24 □
35,06 □ \mathrm{Z}=1,95

35,18 □
36,22 □
36,36 □
35,71 □
\mathrm{t}=2,0930
1,35 □

\mathrm{Z}=1,65
1,38 p t=1,7291 1,92

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=20 medidas de dureza (em HRc). Os dados são:
36,4,\\\ 35,7,\\\ 37,2,\\\ 36,5,\\\ 34,9,\\\ 35,2,\\\ 36,3,\\\ 35,8,\\\ 36,6,\\\ 36,9,
35,4,\\\ 35,8,\\\ 33,2,\\\ 35,6,\\\ 32,7,\\\ 38,4,\\\ 33,6,\\\ 36,1,\\\ 37,0,\\\ 34,9.
O que o problema pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu da dureza do aço.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Média amostral \bar{x}: é a soma das observações dividida por n. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores da amostra e n é o tamanho da amostra.
  • Variância amostral e desvio padrão amostral: quando a variância populacional é desconhecida usamos a variância amostral com divisor n-1. Fórmulas:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \qquad\text{e}\qquad s=\sqrt{s^2},
onde s é o desvio padrão amostral. Alternativamente, para facilitar cálculos sem subtrair cada termo, pode-se usar a fórmula:
s^2=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\Bigg).
  • Intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida: usa-se a distribuição t de Student com df=n-1. A fórmula do IC de nível de confiança 1-\alpha é:
\bar{x}\pm t_{\,n-1,\,1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{\,n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil superior de ordenação 1-\alpha/2 da t com n-1 graus de liberdade; aqui \alpha=0,05 para 95\%.
Explicação curta do porquê usar t: quando o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido, a estatística padronizada (\bar{x}-\mu)/(s/\sqrt{n}) segue a distribuição t (não a normal) e portanto usamos t para obter probabilidades corretas.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}.
Primeiro a soma das observações (somando todos os 20 números):
\sum_{i=1}^{20} x_i = 714,2.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{714,2}{20}=35,71.
Interpretação: a dureza média observada na amostra é \bar{x}=35,71 HRc.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s usando a fórmula de soma de quadrados.
Já calculamos
\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 25540,52.
Usando a fórmula alternativa:
s^2=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\Bigg).
Substituindo n=20 e \bar{x}=35,71 (logo \bar{x}^2=1275,2041):
n\bar{x}^2 = 20\cdot1275,2041 = 25504,082.
Portanto
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 25540,52 - 25504,082 = 36,438.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{36,438}{19}=1,918842\ldots
e o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{1,918842\ldots}=1,386\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: a dispersão amostral é cerca de 1,386 HRc.

Passo 5

Escolher o valor tabelado t_{n-1,1-\alpha/2}.
Aqui n-1=19 graus de liberdade e nível de confiança 95\% implica \alpha=0,05 e queremos t_{19,0,975}. Pela tabela t obtemos aproximadamente
t_{19,0,975}=2,093.
(Isto é o valor crítico que garante que a probabilidade de |T| exceder esse valor é 0,05 quando T segue t_{19}.)

Passo 6

Cálculo da margem de erro e do intervalo de confiança.
A margem de erro é
E=t_{19,0,975}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo os números:
E=2,093\cdot\frac{1,386}{\sqrt{20}}.
Calcule \sqrt{20}=4,472\ldots. Então
E\approx\frac{2,093\cdot1,386}{4,472}\approx\frac{2,9009}{4,472}\approx0,649.
O intervalo de confiança de 95\% é
\bar{x}\pm E = 35,71 \pm 0,65\\ (\text{aprox.}),
ou seja
[\,35,06\\ ;\\\ 36,36\,]\\ (\text{HRc, arredondado a duas casas decimais}).

Passo 7

Interpretação final (curta e motivadora): com base nessa amostra de 20 corpos de prova, e admitindo que as suposições de amostragem aleatória e aproximada normalidade da média valem, um intervalo de confiança de 95\% para a dureza média \mu do aço é aproximadamente de 35,06 até 36,36 HRc. Isso significa que, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de 95\% desses intervalos construídos do mesmo modo conteriam a verdadeira média \mu. Vai dar tudo certo — esse é o resultado que podes usar na prova.

Resposta

média amostral =\;35,71 HRc
desvio padrão amostral =\;1,386 HRc (aprox.)
valor tabelado t_{19,0,975}=2,093
IC de 95\% para \mu: [\,35,06\;;\;36,36\,] HRc

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