Questão 1
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Para avaliar a dureza esperada
do aço produzido sob um novo processo de têmpera foi selecionada uma amostra de 20 corpos de prova do aço, a qual produziu os seguintes resultados de dureza, em HRc:
36,4
35,7
37,2
36,5
34,9
35,2
36,3
35,8
36,6
36,9
35,4
35,8
33,2
35,6
32,7
38,4
33,6
36,1
37,0
34,9
Construir um I.C. de
.
Resposta:
média amostral = □
desvio padrão amostral = □
valor tabelado
□
Intervalo de Confiança:
IC[ □ ; 95%]
□ ; □ ]□
□
36,31 □
35,10 □
□
35,20 □
36,24 □
35,06 □
□
35,18 □
36,22 □
36,36 □
35,71 □
□
1,35 □
□
1,38
1,92
| 36,4 | 35,7 | 37,2 | 36,5 | 34,9 | 35,2 | 36,3 | 35,8 | 36,6 | 36,9 |
| 35,4 | 35,8 | 33,2 | 35,6 | 32,7 | 38,4 | 33,6 | 36,1 | 37,0 | 34,9 |
desvio padrão amostral = □
valor tabelado
Intervalo de Confiança:
IC[ □ ; 95%]
□
36,31 □
35,10 □
35,20 □
36,24 □
35,06 □
□
35,18 □
36,22 □
36,36 □
35,71 □
1,35 □
□
| 1,38 |
|
|
1,92 |
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
medidas de dureza (em HRc). Os dados são:
O que o problema pede: construir um intervalo de confiança de
para a média verdadeira
da dureza do aço.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
- Média amostral
: é a soma das observações dividida por . Fórmula:
onde
são os valores da amostra e
é o tamanho da amostra.
- Variância amostral e desvio padrão amostral: quando a variância populacional é desconhecida usamos a variância amostral com divisor
. Fórmulas:
onde
é o desvio padrão amostral. Alternativamente, para facilitar cálculos sem subtrair cada termo, pode-se usar a fórmula:
- Intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida: usa-se a distribuição
de Student com . A fórmula do IC de nível de confiança é:
onde
é o quantil superior de ordenação
da
com
graus de liberdade; aqui
para
.
Explicação curta do porquê usar
: quando o desvio padrão populacional
é desconhecido, a estatística padronizada
segue a distribuição
(não a normal) e portanto usamos
para obter probabilidades corretas.
Passo 3
Cálculo da média amostral
.
Primeiro a soma das observações (somando todos os 20 números):
Agora a média:
Interpretação: a dureza média observada na amostra é
HRc.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral
usando a fórmula de soma de quadrados.
Já calculamos
Usando a fórmula alternativa:
Substituindo
e
(logo
):
Portanto
Agora a variância amostral:
e o desvio padrão amostral:
Interpretação: a dispersão amostral é cerca de
HRc.
Passo 5
Escolher o valor tabelado
.
Aqui
graus de liberdade e nível de confiança
implica
e queremos
. Pela tabela
obtemos aproximadamente
(Isto é o valor crítico que garante que a probabilidade de
exceder esse valor é
quando
segue
.)
Passo 6
Cálculo da margem de erro e do intervalo de confiança.
A margem de erro é
Substituindo os números:
Calcule
. Então
O intervalo de confiança de
é
ou seja
Passo 7
Interpretação final (curta e motivadora): com base nessa amostra de
corpos de prova, e admitindo que as suposições de amostragem aleatória e aproximada normalidade da média valem, um intervalo de confiança de
para a dureza média
do aço é aproximadamente de
até
HRc. Isso significa que, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de
desses intervalos construídos do mesmo modo conteriam a verdadeira média
. Vai dar tudo certo — esse é o resultado que podes usar na prova.
Resposta
média amostral
HRc
desvio padrão amostral HRc (aprox.)
valor tabelado
IC de para
:
HRc
desvio padrão amostral
valor tabelado
IC de