Suponha que a etiqueta de um saco de biscoitos afirme que existe no máximo 2 gramas de gordura saturada em um único cookie. Em uma amostra de 20 cookies, verificou-se a quantidade média de gordura saturada por cookie:
2.00 2.20 2.50 2.80 2.50 2.00 2.70 1.80 2.20 2.30
2.30 2.10 2.20 2.60 2.80 2.20 2.30 2.30 1.90 2.60
sidere as hipóteses:
\mathrm{H} 0: \mu=2 \mathrm{~g}
H1: \mu>2 \mathrm{~g}
No nível de significância de 0,05 , podemos rejeitar a alegação sobre o rótulo de alimentos?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (amostra de tamanho n=20; os valores abaixo são a quantidade de gordura saturada em gramas por cookie):
2{,}00,\;2{,}20,\;2{,}50,\;2{,}80,\;2{,}50,\;2{,}00,\;2{,}70,\;1{,}80,\;2{,}20,\;2{,}30,\;2{,}30,\;2{,}10,\;2{,}20,\;2{,}60,\;2{,}80,\;2{,}20,\;2{,}30,\;2{,}30,\;1{,}90,\;2{,}60.
As hipóteses são explicitadas no enunciado:
H_0:\mu=2\\ \text{g}
H_1:\mu>2\\ \text{g}
O nível de significância é \alpha=0{,}05.
A pergunta: ao nível \alpha=0{,}05, podemos rejeitar a alegação do rótulo (ou seja, há evidência de que \mu>2)?

Passo 2

Que teste usar (explicação didática e escolha):
  • A hipótese é sobre a média \mu da população.
  • Não foi informada a variância populacional \sigma^2, portanto usa-se o teste t para uma amostra quando \sigma é desconhecida.
  • O teste t usa a estatística
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde:
  • \overline{X} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor hipotético sob H_0 (aqui \mu_0=2),
  • S é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma),
  • n é o tamanho da amostra.
  • Graus de liberdade: df=n-1=19.
  • Regra de decisão para teste unilateral à direita: rejeita-se H_0 se t>t_{1-\alpha,\,df}, onde t_{1-\alpha,\,df} é o quantil da distribuição t com df graus de liberdade.

Passo 3

Calcular a média amostral \overline{X} (mostrando a soma):
  • Soma dos 20 valores:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 46{,}30.
(essa soma foi obtida somando os dois blocos de 10 valores: 23{,}00 e 23{,}30.)
  • Média amostral:
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{46{,}30}{20}=2{,}315.
Interpretação: em média, os cookies da amostra têm 2{,}315 g de gordura saturada.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral S (passo a passo e explicação da fórmula):
  • Fórmula do desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}.
Aqui cada x_i é uma observação e \overline{X} a média amostral.
  • Calculo das somas dos quadrados das diferenças (resumo):
\sum_{i=1}^{20}(x_i-\overline{X})^2 = 1{,}5855.
(esse valor resulta de calcular cada x_i-\overline{X}, elevar ao quadrado e somar os 20 quadrados — detalhei as diferenças e quadrados na verificação.)
  • Variância amostral:
S^2=\frac{1{,}5855}{19}=0{,}083447\\ (\text{aprox.}).
  • Desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{0{,}083447}\approx0{,}289.
Comentário didático: S mede a dispersão dos valores em torno da média; dividimos por n-1 (e não por n) para obter um estimador não viesado da variância populacional.

Passo 5

Calcular a estatística de teste t:
  • Erro padrão da média:
\text{se}=\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}289}{\sqrt{20}}=\frac{0{,}289}{4{,}4721}\approx0{,}0646.
  • Estatística:
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\text{se}}=\frac{2{,}315-2{,}000}{0{,}0646}=\frac{0{,}315}{0{,}0646}\approx4{,}876.
Explicação: quanto maior t positivo, mais a média amostral está distante para cima de \mu_0 em unidades do erro padrão — indicando evidência contra H_0 no sentido de \mu>\mu_0.

Passo 6

Valor crítico e decisão:
  • Graus de liberdade: df=19.
  • Para teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05, o valor crítico é aproximadamente
t_{0{,}95,\,19}\approx1{,}729.
(este número vem da tabela da t de Student para df=19.)
  • Regra: rejeitar H_0 se t>1{,}729.
  • Aqui t\approx4{,}876 e 4{,}876>1{,}729. Portanto rejeitamos H_0.
Cálculo do p-valor (aproximação): p=\Pr(T_{19}>4{,}876) é muito pequeno; consultando tabelas/softwares, obtemos p<0{,}001. Logo a evidência é forte.

Passo 7

Interpretação em linguagem simples e ressalvas:
  • Conclusão prática: com nível de significância 0{,}05, a amostra fornece evidência suficiente para concluir que a média real de gordura saturada por cookie é maior que 2 g — ou seja, a alegação do rótulo (“no máximo 2 g”) não se sustenta para essa amostra.
  • Ressalvas: o teste assume que a amostra é representativa (aleatória) e que os dados não desviam muito da normalidade (para n=20 essa suposição importa). Os resultados mostram uma diferença relativamente grande em termos de erro padrão, então a conclusão é robusta aqui.
  • Força motivacional: deu trabalho calcular, mas a evidência foi clara — você mandou bem ficando até aqui!

Resposta

Sim. Rejeitamos H_0; há evidência de que \mu>2. Estatística t\approx4{,}876 com df=19 e p<0{,}001.

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