Suponha que a etiqueta de um saco de biscoitos afirme que existe no máximo 2 gramas de gordura saturada em um único cookie. Em uma amostra de 20 cookies, verificou-se a quantidade média de gordura saturada por cookie:
2.00
2.20
2.50
2.80
2.50
2.00
2.70
1.80
2.20
2.30
2.30
2.10
2.20
2.60
2.80
2.20
2.30
2.30
1.90
2.60
sidere as hipóteses:
\mathrm{H} 0: \mu=2 \mathrm{~g}
H1: \mu>2 \mathrm{~g}
No nível de significância de 0,05 , podemos rejeitar a alegação sobre o rótulo de alimentos?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (amostra de tamanho n=20; os valores abaixo são a quantidade de gordura saturada em gramas por cookie): 2{,}00,\;2{,}20,\;2{,}50,\;2{,}80,\;2{,}50,\;2{,}00,\;2{,}70,\;1{,}80,\;2{,}20,\;2{,}30,\;2{,}30,\;2{,}10,\;2{,}20,\;2{,}60,\;2{,}80,\;2{,}20,\;2{,}30,\;2{,}30,\;1{,}90,\;2{,}60.
As hipóteses são explicitadas no enunciado:
H_0:\mu=2\\ \text{g}
H_1:\mu>2\\ \text{g}
O nível de significância é \alpha=0{,}05.
A pergunta: ao nível \alpha=0{,}05, podemos rejeitar a alegação do rótulo (ou seja, há evidência de que \mu>2)?
Passo 2
Que teste usar (explicação didática e escolha):
A hipótese é sobre a média \mu da população.
Não foi informada a variância populacional \sigma^2, portanto usa-se o teste t para uma amostra quando \sigma é desconhecida.
O teste t usa a estatística
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde:
\overline{X} é a média amostral,
\mu_0 é o valor hipotético sob H_0 (aqui \mu_0=2),
S é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma),
n é o tamanho da amostra.
Graus de liberdade: df=n-1=19.
Regra de decisão para teste unilateral à direita: rejeita-se H_0 se t>t_{1-\alpha,\,df}, onde t_{1-\alpha,\,df} é o quantil da distribuição t com df graus de liberdade.
Passo 3
Calcular a média amostral \overline{X} (mostrando a soma):
Soma dos 20 valores:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 46{,}30.
(essa soma foi obtida somando os dois blocos de 10 valores: 23{,}00 e 23{,}30.)
Aqui cada x_i é uma observação e \overline{X} a média amostral.
Calculo das somas dos quadrados das diferenças (resumo):
\sum_{i=1}^{20}(x_i-\overline{X})^2 = 1{,}5855.
(esse valor resulta de calcular cada x_i-\overline{X}, elevar ao quadrado e somar os 20 quadrados — detalhei as diferenças e quadrados na verificação.)
Comentário didático: S mede a dispersão dos valores em torno da média; dividimos por n-1 (e não por n) para obter um estimador não viesado da variância populacional.
Explicação: quanto maior t positivo, mais a média amostral está distante para cima de \mu_0 em unidades do erro padrão — indicando evidência contra H_0 no sentido de \mu>\mu_0.
Passo 6
Valor crítico e decisão:
Graus de liberdade: df=19.
Para teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05, o valor crítico é aproximadamente
t_{0{,}95,\,19}\approx1{,}729.
(este número vem da tabela da t de Student para df=19.)
Regra: rejeitar H_0 se t>1{,}729.
Aqui t\approx4{,}876 e 4{,}876>1{,}729. Portanto rejeitamos H_0.
Cálculo do p-valor (aproximação): p=\Pr(T_{19}>4{,}876) é muito pequeno; consultando tabelas/softwares, obtemos p<0{,}001. Logo a evidência é forte.
Passo 7
Interpretação em linguagem simples e ressalvas:
Conclusão prática: com nível de significância 0{,}05, a amostra fornece evidência suficiente para concluir que a média real de gordura saturada por cookie é maior que 2 g — ou seja, a alegação do rótulo (“no máximo 2 g”) não se sustenta para essa amostra.
Ressalvas: o teste assume que a amostra é representativa (aleatória) e que os dados não desviam muito da normalidade (para n=20 essa suposição importa). Os resultados mostram uma diferença relativamente grande em termos de erro padrão, então a conclusão é robusta aqui.
Força motivacional: deu trabalho calcular, mas a evidência foi clara — você mandou bem ficando até aqui!
Resposta
Sim. Rejeitamos H_0; há evidência de que \mu>2. Estatística t\approx4{,}876 com df=19 e p<0{,}001.