Usando as estatísticas amostrais da questão 3 e a regra empírica, determine quais dos lotes a seguir, cujos valores das terras doadas por acre são fornecidos, são valores discrepantes (mais do que dois desvios padrão a partir da média). (1 p.)
$1.150; $1.775; $1.000; $1.475; $2.000; $1.850

Passo 1

O enunciado pede: usando a regra empírica (valores que estão a mais de dois desvios padrão da média são considerados discrepantes), determinar quais dos lotes abaixo são discrepantes:
\$1.150; \\ \$1.775; \\ \$1.000; \\ \$1.475; \\ \$2.000; \\ \$1.850.
Informações fornecidas:
  • Os valores amostrais (em dólares por acre) são \,1150,\;1775,\;1000,\;1475,\;2000,\;1850\,.
  • O enunciado menciona “as estatísticas amostrais da questão 3”, mas esses valores (média e desvio padrão da questão 3) não foram fornecidos aqui. Portanto, para poder aplicar a regra empírica vou calcular a média amostral e o desvio-padrão amostral a partir dos próprios dados acima.

Passo 2

Definição e fórmula da média amostral (aula rápida e prática).
  • A média amostral \bar{x} é o valor médio dos dados e serve como “centro” dos dados.
  • Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i cada observação.
Calculemos \bar{x} para os dados dados. Primeiro a soma:
\sum x_i = 1150 + 1775 + 1000 + 1475 + 2000 + 1850 = 9250.
O número de observações é n=6. Logo
\bar{x}=\frac{9250}{6}=\frac{4625}{3}\approx 1541,666\ldots
Vou usar \bar{x}\approx 1541,67 (dólares por acre) para os cálculos numéricos.

Passo 3

Definição e fórmula do desvio-padrão amostral (aula rápida e prática).
  • O desvio-padrão amostral s mede a dispersão dos dados ao redor da média e, quando trabalhamos com uma amostra, usa-se a correção de Bessel (dividindo por n-1).
  • Fórmula:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Explicação: calcula-se a diferença de cada valor para a média, eleva-se ao quadrado (para tornar positivos os desvios), soma-se e divide-se por n-1 para estimar a variância amostral; a raiz dá o desvio-padrão.
Vamos calcular \sum (x_i-\bar{x})^2. Para evitar arredondamentos intermediários usei uma computação exata em frações (detalhe técnico): como \bar{x}=\dfrac{4625}{3}, então x_i-\bar{x}=\dfrac{3x_i-4625}{3} e
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{6}(3x_i-4625)^2.
Calculemos (3x_i-4625)^2 para cada x_i:
\begin{aligned} x_1=1150 &: \\ (3\cdot1150-4625)^2=(-1175)^2=1\,380\,625,\\\ x_2=1775 &: \\ (3\cdot1775-4625)^2=700^2=490\,000,\\\ x_3=1000 &: \\ (3\cdot1000-4625)^2=(-1625)^2=2\,640\,625,\\\ x_4=1475 &: \\ (3\cdot1475-4625)^2=(-200)^2=40\,000,\\\ x_5=2000 &: \\ (3\cdot2000-4625)^2=1375^2=1\,890\,625,\\\ x_6=1850 &: \\ (3\cdot1850-4625)^2=925^2=855\,625. \end{aligned}
Somando:
\sum (3x_i-4625)^2 = 7\,297\,500.
Portanto
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=\frac{7\,297\,500}{9}=810\,833{,}3\overline{3}.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{5}\cdot 810\,833{,}3\overline{3}=162\,166{,}6\overline{6}.
E o desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{162\,166{,}6\overline{6}}\approx 402{,}70.

Passo 4

Aplicando a regra empírica: valores a mais de dois desvios-padrão da média são considerados discrepantes.
  • Dois desvios-padrão é 2s:
2s \approx 2\cdot 402{,}70 \approx 805{,}39.
  • A condição para discrepância é:
|x_i-\bar{x}|>2s.
Calculemos as diferenças absolutas em relação à média \bar{x}\approx 1541{,}67:
\begin{aligned} |1150-1541{,}67| &\approx 391{,}67,\\\ |1775-1541{,}67| &\approx 233{,}33,\\\ |1000-1541{,}67| &\approx 541{,}67,\\\ |1475-1541{,}67| &\approx 66{,}67,\\\ |2000-1541{,}67| &\approx 458{,}33,\\\ |1850-1541{,}67| &\approx 308{,}33. \end{aligned}
Compare cada uma com 2s\approx 805{,}39. Nenhuma das diferenças ultrapassa 805{,}39.

Passo 5

Interpretação final e incentivo rápido: pela regra empírica, se um valor estivesse a mais de dois desvios-padrão da média seria considerado discrepante (algo bem distante do centro). Aqui, apesar de existirem valores relativamente baixos ( 1000) e elevados ( 2000), a dispersão da amostra (desvio-padrão \approx 402{,}70) é suficiente para que nenhum ultrapasse o limite de 2s. Então não há valores discrepantes segundo a regra empírica aplicada a esta amostra.

Resposta

Nenhum dos valores é discrepante.

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