Questão 5
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Considere a função f: R R definida por f(x)=e^x-1. É CORRETO afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Existem dois números reais distintos a e b tais que f(a)=12=f(b).
b. A função f não possui raiz real.
c. A função f é uma bijeção.
d. Existe um único número real negativo a tal que f(a)=-12.
e. Se x1 <= x2, então f(x1) >= f(x2).

Passo 1

Enunciado: temos a função fcolon RtoR dada por
f(x)=e^x-1
Vamos usar propriedades da exponencial (monotonicidade, injetividade, imagem) e resolver equações do tipo e^x=constante para testar cada alternativa.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=ddx(e^x-1)=e^x>0forall xinR,
logo f é estritamente crescente. Isso implica duas coisas:
  1. f é injetora, então a mesma imagem não pode vir de dois argumentos distintos (refuta a).
  2. se x1<= x2 então f(x1)<= f(x2), o que contradiz a afirmação e (que diz o contrário). Portanto, a e e são falsas.

Passo 3

Para ver se há raiz real, resolvemos
f(x)=0implies e^x-1=0implies e^x=1implies x=0
Existe raiz real ( x=0), então a alternativa b é falsa.

Passo 4

Sabendo que f é injetora, falta ver se é sobrejetora no codomínio R. Como
limxto-inftyf(x)=-1 e limxto+inftyf(x)=+infty,
a imagem de f é (-1,infty), não todo R. Logo f não é bijeção e c é falsa.

Passo 5

Para f(a)=-tfrac12 resolvemos
e^a-1=-tfrac12implies e^a=tfrac12implies a=lnl(tfrac12r)=-ln(2)<0
Há exatamente uma solução real e ela é negativa, portanto a alternativa d é verdadeira.

Resposta

d.

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