Questão 5. Verifique se as seguintes integrais impróprias abaixo convergem ou divergem. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral0^pi / 4 cos (x)raizsen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^pi/4cos(x)raizsin(x),dx
O ponto crítico é x=0, onde sin(x)to0. Vamos (i) testar a convergência em 0 e, se convergente, (ii) calcular o valor exato.

Passo 2

Para estudar a convergência em x=0, note que, quando xto0^+,
sin(x)sim x e cos(x)to1.
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cos(x)raizsin(x)sim1raizx
Como a integral
integral0!x^-1/2,dx
converge (é proporcional a x^1/2 em 0), a integral original também converge.

Passo 3

Para calcular o valor, fazemos a substituição
u=sin(x), du=cos(x),dx
Os limites passam de x=0mapsto u=0 e x=pi/4mapsto u=sin(pi/4)=tfracraiz22. Assim
integral0^pi/4cos(x)raizsin(x),dx =integral0^raiz22u^-1/2,du

Passo 4

Sabendo que
integral u^-1/2,du=2u^1/2,
temos
integral0^raiz22u^-1/2,du =l[2u^1/2r]0^raiz22 =2raiztfracraiz22
E
raiztfracraiz22 =l(tfracraiz22r)^1/2 =2^-1/4,
de modo que o resultado é
2cdot2^-1/4=2^3/4

Resposta

A integral converge e vale 2^3/4.

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