Questão 5. Verifique se as seguintes integrais impróprias abaixo convergem ou divergem. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
O ponto crítico é
, onde
. Vamos (i) testar a convergência em
e, se convergente, (ii) calcular o valor exato.
Passo 2
Para estudar a convergência em
, note que, quando
,
e
.
Logo
Logo
Como a integral
converge (é proporcional a
em
), a integral original também converge.
Passo 3
Para calcular o valor, fazemos a substituição
Os limites passam de
e
. Assim
Passo 4
Sabendo que
temos
E
de modo que o resultado é
Resposta
A integral converge e vale
.