Questão 5. Verifique se as seguintes integrais impróprias abaixo convergem ou divergem. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral-1^2 14-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral-1^214 - x^2,dx
Há uma singularidade em x=2, pois 4-x^2=0 nesse ponto. O conteúdo é “integrais impróprias com singularidade no limite de integração” e precisamos ver se o limite existe finito.

Passo 2

Escrevemos a integral como um limite que evita a singularidade em x=2:
integral-1^214 - x^2,dx =limbto2^-integral-1^b14 - x^2,dx

Passo 3

Para integrar, fazemos frações parciais:
14 - x^2 =1(2-x)(2+x) =A2-x+B2+x
Resolvendo A(2+x)+B(2-x)=1 A=B=tfrac14. Assim
14 - x^2 =14l(12-x+12+xr) Longrightarrow integral14 - x^2,dx =14l(-ln|2-x|+ln|2+x|r)+C

Passo 4

Avaliamo a integral de -1 até b<2:
integral-1^b14 - x^2,dx =[14ln|2+x||2-x|]x=-1^x=b =14ln2+b2-b -14ln2+(-1)2-(-1)
Quando bto2^-, o termo ln2+b2-bto+infty. Logo o limite não é finito e a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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