Questão 4: Os algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos sem reposição aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de 5 algarismos.
(a) Calcule a probabilidade de que o número escrito seja par;
(b) Se a escolha fosse com reposição, qual seria essa probabilidade?;

Passo 1

O enunciado diz que temos os algarismos 1,2,3,4,5 em cinco cartões e vamos formar um número de cinco dígitos tirando os cartões sem reposição, de modo que cada ordem é igualmente provável. A parte (a) pede a probabilidade de o número ser par (isto é, terminar em algarismo par). A parte (b) repete o problema, mas agora com reposição dos cartões, o que muda o espaço amostral. Para resolver usaremos contagem de permutações e princípio da probabilidade clássica.

Passo 2

Sem reposição, o total de resultados possíveis é o número de permutações de cinco elementos, ou seja
5! = 120

Passo 3

Para o número ser par, o último dígito deve ser 2 ou 4. Escolhendo um desses para a última posição, restam quatro cartões que podem ocupar livremente as quatro primeiras posições em 4! arranjos. Assim, o total de casos favoráveis é
2 times 4! = 2 times 24 = 48

Passo 4

Pela definição de probabilidade clássica, a probabilidade de o número ser par sem reposição é
48120 = 25

Passo 5

Com reposição, cada posição é escolhida entre os cinco dígitos independentemente, então o total de sequências possíveis é
5^5 = 3125

Passo 6

Ainda para ser par, a última escolha deve ser 2 ou 4, e as primeiras quatro podem ser quaisquer dígitos. Logo o número de sequências favoráveis é
2 times 5^4 = 2 times 625 = 1250

Passo 7

Assim, a probabilidade com reposição é
12503125 = 25

Resposta

(a) 25
(b) 25

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