Questão 4: Os algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos sem reposição aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de 5 algarismos.
(a) Calcule a probabilidade de que o número escrito seja par;
(b) Se a escolha fosse com reposição, qual seria essa probabilidade?;
(a) Calcule a probabilidade de que o número escrito seja par;
(b) Se a escolha fosse com reposição, qual seria essa probabilidade?;
Passo 1
O enunciado diz que temos os algarismos
em cinco cartões e vamos formar um número de cinco dígitos tirando os cartões sem reposição, de modo que cada ordem é igualmente provável. A parte (a) pede a probabilidade de o número ser par (isto é, terminar em algarismo par). A parte (b) repete o problema, mas agora com reposição dos cartões, o que muda o espaço amostral. Para resolver usaremos contagem de permutações e princípio da probabilidade clássica.
Passo 2
Sem reposição, o total de resultados possíveis é o número de permutações de cinco elementos, ou seja
Passo 3
Para o número ser par, o último dígito deve ser
ou
. Escolhendo um desses para a última posição, restam quatro cartões que podem ocupar livremente as quatro primeiras posições em
arranjos. Assim, o total de casos favoráveis é
Passo 4
Pela definição de probabilidade clássica, a probabilidade de o número ser par sem reposição é
Passo 5
Com reposição, cada posição é escolhida entre os cinco dígitos independentemente, então o total de sequências possíveis é
Passo 6
Ainda para ser par, a última escolha deve ser
ou
, e as primeiras quatro podem ser quaisquer dígitos. Logo o número de sequências favoráveis é
Passo 7
Assim, a probabilidade com reposição é
Resposta
(a)
(b)