1^ n Questāo: A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumentando a uma taxa de 0.2 cm / min. O raio da base é 10 cm e está diminuindo a uma taxa de 0,3 cm / min. Qual a taxa de variação do volume?

Passo 1

Beleza, vamos simplificar o que o enunciado pede:
Temos um cone circular reto com altura h=15 cm crescendo a tfracdhdt=0,2 cm/min, e raio r=10 cm diminuindo a tfracdrdt=-0,3 cm/min. A matéria aqui é Taxas Relacionadas (related rates) em Cálculo Diferencial. O que precisamos: a fórmula do volume de um cone e as regras de derivação (regra do produto e regra da cadeia).

Passo 2

Escrevendo a fórmula do volume de um cone:
V = 13,pi,r^2,h,
onde V depende de r e h. Como tudo muda com o tempo t, vamos derivar ambos os lados em relação a t. Para isso usamos:
  1. Regra do produto: ddt(fcdot g)=f',g + f,g'.
  2. Regra da cadeia: ddt(r^2)=2r;drdt.

Passo 3

Aplicando as regras, temos
dVdt =ddtl(tfrac13pi,r^2,hr) =13,pil(ddt(r^2),h + r^2,dhdtr)
E como ddt(r^2)=2rdrdt,
dVdt =13,pil(2r,tfracdrdt,h + r^2,tfracdhdtr)

Passo 4

Agora é só substituir os valores:
r=10, tfracdrdt=-0,3, h=15, tfracdhdt=0,2.
2r,tfracdrdt,h = 2cdot10cdot(-0,3)cdot15 = -90, r^2,tfracdhdt = 10^2cdot0,2 = 20
Somando: -90 + 20 = -70. Logo
dVdt =13,pi,(-70) =-70pi3 cm^3/min

Resposta

boxeddVdt = -70pi3 cm^3/min

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