Questāo: A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumentando a uma taxa de
. O raio da base é 10 cm e está diminuindo a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume?
Passo 1
Beleza, vamos simplificar o que o enunciado pede:
Temos um cone circular reto com altura cm crescendo a
cm/min, e raio
cm diminuindo a
cm/min. A matéria aqui é Taxas Relacionadas (related rates) em Cálculo Diferencial. O que precisamos: a fórmula do volume de um cone e as regras de derivação (regra do produto e regra da cadeia).
Temos um cone circular reto com altura
Passo 2
Escrevendo a fórmula do volume de um cone:
onde
depende de
e
. Como tudo muda com o tempo
, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Para isso usamos:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia:
.
Passo 3
Aplicando as regras, temos
E como
,
Passo 4
Agora é só substituir os valores:
,
,
,
.
Somando:
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